За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Маша и На­та­ша де­ла­ют фо­то­гра­фии. Каж­дый день каж­дая де­воч­ка де­ла­ет на одну фо­то­гра­фию боль­ше, чем в преды­ду­щий день. В конце На­та­ша сде­ла­ла на 1001 фо­то­гра­фию боль­ше, чем Маша.

а)  Могло ли это про­изой­ти за 7 дней?

б)  Могло ли это про­изой­ти за 8 дней?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство фо­то­гра­фий могла сде­лать На­та­ша, если Маша в по­след­ний день сде­ла­ла мень­ше 40 фо­то­гра­фий?

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-то из них крас­ные, а какие-⁠то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 7, а зелёные числа крат­ны 5. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а)  Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 2325, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1467, если толь­ко одно число крас­ное?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1467.

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-⁠то из них крас­ные, а какие-⁠то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 8, а зелёные числа крат­ны 3. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а)  Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 1395, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1066, если толь­ко одно число крас­ное?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1066.

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 5100.

а)  Может ли быть за­пи­са­но число 250?

б)  Можно ли обой­тись без числа 11?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 5120.

а)  Может ли быть за­пи­са­но число 230?

б)  Можно ли обой­тись без числа 14?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых либо чет­ное, либо его де­ся­тич­ная за­пись за­кан­чи­ва­ет­ся на цифру 7. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 810.

а)  Может ли быть 24 чет­ных числа?

б)  Может ли быть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел с по­след­ней циф­рой 7 может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое или окан­чи­ва­ет­ся на 9, или чет­ное, а сумма чисел равна 877.

а)  Может ли быть на доске 27 чет­ных чисел?

б)  Может ли быть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел с по­след­ней циф­рой 9 может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2502.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 или на 7?

б)  Могут ли ровно два числа на доске окан­чи­вать­ся на 3?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, может быть на доске?

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры шести за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 82.

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли ока­зать­ся, что толь­ко два сту­ден­та на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­ден­тов могло на­пи­сать обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли зна­че­ние S быть рав­ным 5?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние могло при­ни­мать S, если обе кон­троль­ные ра­бо­ты пи­са­ли 10 сту­ден­тов?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске окан­чи­вать­ся на 6?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, может быть за­пи­са­но на доске?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2786.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4 или на 8?

б)  Могут ли ровно че­ты­ре числа на доске окан­чи­вать­ся на 8?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 8, может быть на доске?

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли ока­зать­ся, что толь­ко два сту­ден­та на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­ден­тов могло на­пи­сать обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

Каж­дый из 32 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 14. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 14.

б)  Могло ли ока­зать­ся, что толь­ко два сту­ден­та на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S = 11?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­ден­тов могло на­пи­сать обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S = 11?

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры пяти за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 91.

Саша берёт пять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел и про­де­лы­ва­ет с ними сле­ду­ю­щие опе­ра­ции: сна­ча­ла вы­чис­ля­ет сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­вых двух чисел, затем сред­нее ариф­ме­ти­че­ское ре­зуль­та­та и тре­тье­го числа, потом сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и четвёртого числа, потом сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и пя­то­го числа  — число A.

а)  Может ли число A рав­нять­ся сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му на­чаль­ных пяти чисел?

б)  Может ли число A быть боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го на­чаль­ных чисел в пять раз?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз число A может быть боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го на­чаль­ных пяти чисел?

С на­ту­раль­ным чис­лом про­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: между каж­ды­ми двумя его со­сед­ни­ми циф­ра­ми за­пи­сы­ва­ют сумму этих цифр (на­при­мер, из числа 1923 по­лу­ча­ет­ся число 110911253).

а)  При­ве­ди­те при­мер числа, из ко­то­ро­го по­лу­ча­ет­ся 2108124117.

б)  Может ли из ка­ко­го-⁠ни­будь числа по­лу­чить­ся число 37494128?

в)  Какое наи­боль­шее число, крат­ное 11, может по­лу­чить­ся из трех­знач­но­го числа?

С на­ту­раль­ным чис­лом про­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: между каж­ды­ми двумя его со­сед­ни­ми циф­ра­ми за­пи­сы­ва­ют сумму этих цифр (на­при­мер, из числа 1923 по­лу­ча­ет­ся число 110911253).

а)  При­ве­ди­те при­мер числа, из ко­то­ро­го по­лу­ча­ет­ся 4106137125.

б)  Может ли из ка­ко­го-ни­будь числа по­лу­чить­ся число 27593118?

в)  Какое наи­боль­шее число, крат­ное 9, может по­лу­чить­ся из трех­знач­но­го числа, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го нет де­вя­ток?

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не­от­ри­ца­тель­ных од­но­знач­ных чисел. Пусть M_k  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме k-го. Из­вест­но, что

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой

б)  Су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность, для ко­то­рой

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние