Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 38, сред­няя линия равна 11. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 52, сред­няя линия равна 21. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 96. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABE.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 155. Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 132. Точка G  — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABGD.

Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равны 15 и 22. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ци­лин­дра равен 162. Най­ди­те объём ко­ну­са.

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Конус и ци­линдр имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту (конус впи­сан в ци­линдр). Вы­чис­ли­те объём ци­лин­дра, если объём ко­ну­са равен 57.

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 50 спортс­ме­нок: 17 из Рос­сии, 22 из США, осталь­ные  — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 30 спортс­ме­нов, среди них 3 пры­гу­на из Поль­ши и 4 пры­гу­на из Дании. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что четвёртым будет вы­сту­пать пры­гун из Поль­ши.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 7 уче­ных из Сер­бии, 3 из Рос­сии и 2 из Дании. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что де­ся­тым ока­жет­ся до­клад учёного из Рос­сии.

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 3 спортс­ме­на из Дании, 6 из Шве­ции, 4 из Нор­ве­гии и 7 из Фин­лян­дии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Нор­ве­гии.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 70 спортс­ме­нок: 25 из США, 17 из Мек­си­ки, осталь­ные из Ка­на­ды. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Ка­на­ды.

На чем­пи­о­на­те по прыж­кам в воду вы­сту­па­ют 25 спортс­ме­нов, среди них 4 пры­гу­на из Ита­лии и 6 пры­гу­нов из Мек­си­ки. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что два­дцать четвёртым будет вы­сту­пать пры­гун из Ита­лии.

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу в каж­дую из четырёх ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле равна 0,9. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в первую ми­шень и не попадёт в три по­след­ние.

За круг­лый стол на 11 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 9 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки ока­жут­ся на со­сед­них ме­стах.

Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,05. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля ка­че­ства. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,99. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,01. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная из­го­тов­лен­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля.

Стре­лок 4 раза стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок пер­вые 3 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ний раз про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу в каж­дую из четырёх ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле равна 0,9. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в первую ми­шень и не попадёт в три по­след­ние.

За круг­лый стол на 5 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 3 маль­чи­ка и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки будут си­деть рядом.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны шесть точек x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. Сколь­ко из этих точек лежит на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния функ­ции f(x)?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции и от­ме­че­ны во­семь точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на?

Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки ис­поль­зу­ет­ся линза с фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем f, рав­ным 20 см. Рас­сто­я­ние d₁ от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 20 до 50 см, а рас­сто­я­ние d₂ от линзы до экра­на  — в пре­де­лах от 100 до 120 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чётким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии d₁ (в см) от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы её изоб­ра­же­ние на экра­не было чётким.

Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 95 до 115 см, а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на  — в пре­де­лах от 140 до 160 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние

Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 15 до 40 см, а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на  — в пре­де­лах от 100 до 120 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние

Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы нужно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы её изоб­ра­же­ние на экра­не было чётким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и приёмника зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: (Гц), где c  — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде (в м/с), а и   — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 180 Гц?

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 6 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 112 лит­ров она за­пол­ня­ет на 6 минут быст­рее, чем пер­вая труба?

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 5 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 375 лит­ров она за­пол­ня­ет на 10 минут быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 500 лит­ров?

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 6 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 112 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 6 минут доль­ше, чем вто­рая труба?

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 19-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 17-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Заказ на из­го­тов­ле­ние 238 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­нит на 3 часа быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час из­го­тав­ли­ва­ет на 3 де­та­ли боль­ше?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций видов и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [34; 42].

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [9; 36].

Ука­жи­те наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке [3; 21].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­шить урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пря­мая приз­ма ABCA₁B₁C₁. ABC  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем AB. На AB от­ме­че­на точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит по­по­лам ребро B₁C₁. Точка M делит по­по­лам ребро BC. Через точку M про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная PQ.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α делит от­ре­зок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 10. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и SB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь с 2024 по 2028 год долг воз­рас­та­ет на 18% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь с 2029 по 2033 год долг воз­рас­та­ет на 16% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2033 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту долж­на со­ста­вить 1470 тысяч руб­лей?

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 800 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

Най­ди­те на­чаль­ную сумму кре­ди­та, если сумма вы­плат по кре­ди­ту равна 2090 тысяч руб­лей.

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 8 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — в ян­ва­ре 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг воз­рас­та­ет на 18% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  — к июлю 2033 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1125 тысяч руб­лей?

Дан ромб ABCD. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не AD, пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль AC в точке M, диа­го­наль BD  — в точке N, при­чем AM : MC  =  1 : 2, BN : ND  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь ромба, если MN  =  5.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N от­ме­че­ны на бо­ко­вых сто­ро­нах AB и CD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N и O лежат на одной пря­мой.

6)  Най­ди­те если из­вест­но, что и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых

си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно 2 ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но трёхзнач­ное число A. Серёжа зачёрки­ва­ет одну цифру и по­лу­ча­ет дву­знач­ное число B, затем Коля за­пи­сы­ва­ет число A и за­чер­ки­ва­ет одну цифру (воз­мож­но ту же, что Серёжа) и по­лу­ча­ет число C.

а)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

б)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A до 900 для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся

Есть трёхзнач­ное число A, ко­то­рое на­пи­сал Петя. Костя и Ваня вычёрки­ва­ют по одной цифре в числе, по­лу­ча­ют­ся двух­знач­ные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вы­черк­нуть оди­на­ко­вые цифры

а)  Может ли быть верно ра­вен­ство если

б)  Может ли быть верно ра­вен­ство если

в)  Какое мак­си­маль­ное A со­от­вет­ству­ет усло­вию.

Даны числа A и B. Из них можно сде­лать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, толь­ко если сле­ду­ю­щая пара этих чисел будет на­ту­раль­ной. Из­вест­но, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов со­здать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколь­ко ходов можно сде­лать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать, чтобы оба числа не пре­вы­ша­ли 50?