а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точка E лежит на бо­ко­вом ребре SC пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD и делит его в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S. Через точку E и се­ре­ди­ны сто­рон AB и AD про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 12, а вы­со­та  —

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Банк пла­ни­ру­ет вло­жить на 1 год 40% име­ю­щих­ся у него средств кли­ен­тов в про­ект Х, а осталь­ные 60% в про­ект Y. Про­ект Х может при­не­сти при­быль в раз­ме­ре от 19% до 24% го­до­вых, а про­ект Y  — от 29% до 34% го­до­вых. В конце года банк обя­зан вер­нуть день­ги кли­ен­там и вы­пла­тить им про­цен­ты по за­ра­нее уста­нов­лен­ной став­ке. Опре­де­лить наи­мень­ший и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки, при ко­то­рых чи­стая при­быль банка со­ста­вит не менее 10% и не более 15% го­до­вых от сум­мар­ных вло­же­ний в про­ек­ты Х и Y.

В тре­уголь­ни­ке KLM бис­сек­три­сы внеш­них углов при вер­ши­нах K и M пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Через точки K, N и M про­ве­де­на окруж­ность с цен­тром в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что точки K, L, M и O лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMO равна а угол KLM равен 120°.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

Пусть обо­зна­ча­ет трех­знач­ное число, рав­ное 100a + 10b + c, где a, b и c  — де­ся­тич­ные цифры, a ≠ 0.

а)  Су­ще­ству­ют ли такие по­пар­но раз­лич­ные не­ну­ле­вые де­ся­тич­ные цифры a, b и c, что

б)  Су­ще­ству­ют ли такие по­пар­но раз­лич­ные не­ну­ле­вые де­ся­тич­ные цифры a, b и c, что

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если среди по­пар­но раз­лич­ных не­ну­ле­вых де­ся­тич­ных цифр a, b и c есть цифра 6?