а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

У пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCDEFS с вер­ши­ной S бо­ко­вые ребра вдвое длин­нее сто­ро­ны ос­но­ва­ния. Точка N делит диа­го­наль ос­но­ва­ния AD в от­но­ше­нии AN : ND  =  1 : 3. Плос­кость α при­хо­дит через точки Е и N па­рал­лель­но ме­ди­а­не бо­ко­вой грани SCD, про­ве­ден­ной из точки С.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит пло­щадь бо­ко­вой грани ASF в от­но­ше­нии 25 : 17.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью АВС.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В два раз­лич­ных со­су­да на­ли­ты рас­тво­ры соли, при­чем в 1‐⁠й сосуд на­ли­то 5 кг, а во вто­рой  — 20 кг. При ис­па­ре­нии воды про­цент­ное со­дер­жа­ние соли (по массе) в пер­вом со­су­де уве­ли­чи­лось в p раз, а во вто­ром  — в q раз. О чис­лах p и q из­вест­но, что Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство воды могло при этом ис­па­рить­ся из обоих со­су­дов вме­сте?

Через точку С на окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ние диа­мет­ра AD за точку D в точке S. Пря­мая, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну хорды CD и точку S пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках В и G а от­рез­ки АС, СО и CD  — в точ­ках Т, Е и F со­от­вет­ствен­но. Пря­мая BD пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки АС и СО точ­ках K и Р со­от­вет­ствен­но, при­чем BC па­рал­лель­на AD.

а)  До­ка­жи­те, что EK : AD  =  1 : 6.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KТЕР, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через τ(n) ко­ли­че­ство де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа n, вклю­чая еди­ни­цу и само число. Число n будем на­зы­вать хо­ро­шим, если n де­лит­ся на τ(n).

а)  Может ли по­след­ней циф­рой хо­ро­ше­го числа быть 3?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет не­чет­ных хо­ро­ших чисел

в)  Пусть p  — про­стое число. Сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии p?