Уста­нов­ка двух счётчи­ков воды (хо­лод­ной и го­ря­чей) стоит 2500 руб­лей. До уста­нов­ки счётчи­ков Алек­сандр пла­тил за воду (хо­лод­ную и го­ря­чую) еже­ме­сяч­но 1700 руб. После уста­нов­ки счётчи­ков ока­за­лось, что в сред­нем он рас­хо­ду­ет воды на 1000 руб. при тех же та­ри­фах на воду. За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ме­ся­цев при тех же та­ри­фах на воду уста­нов­ка счётчи­ков оку­пит­ся?

Ма­га­зин де­ла­ет пен­си­о­не­рам скид­ку на опре­де­лен­ное ко­ли­че­ство про­цен­тов от цены по­куп­ки. Пакет ке­фи­ра стоит в ма­га­зи­не 40 руб­лей. Пен­си­о­нер за­пла­тил за пакет ке­фи­ра 38 руб­лей. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет скид­ка для пен­си­о­не­ров?

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 4-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Най­ди­те число стран, в ко­то­рых сред­ний балл ниже, чем 515.

Стро­и­тель­ной фирме нужно при­об­ре­сти 40 ку­бо­мет­ров стро­и­тель­но­го бруса у од­но­го из трех по­став­щи­ков. Ка­ко­ва наи­мень­шая сто­и­мость такой по­куп­ки с до­став­кой (в руб­лях)? Цены и усло­вия до­став­ки при­ве­де­ны в таб­ли­це.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на про­дол­же­ние сто­ро­ны AB.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ис­то­рии всего 50 би­ле­тов, в 13 из них встре­ча­ет­ся во­прос о Ве­ли­кой Оте­че­ствен­ной войне. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос о Ве­ли­кой Оте­че­ствен­ной войне.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 135°. Про­дол­же­ния высот BD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Функ­ция y  =  f (x) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [−5; 5]. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те точку x₀, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если f (−5)  ≥  f (5).

Шар, объём ко­то­ро­го равен 6π, впи­сан в куб. Най­ди­те объём куба.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни со ско­ро­стью υ₀ =15 м/с, начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a = 2 м/с² . За t се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он прошёл путь (м).

Опре­де­ли­те время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал 36 мет­ров. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

В сосуд, име­ю­щий форму ко­ну­са, на­ли­ли 25 мл жид­ко­сти до по­ло­ви­ны вы­со­ты со­су­да (см. рис.). Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить в сосуд, чтобы за­пол­нить его до­вер­ху?

До­ро­га между пунк­та­ми А и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 8 км. Путь из А в В занял у ту­ри­ста 2 часа 45 минут, из ко­то­рых 1 час 15 минут ушёл на спуск. Най­ди­те ско­рость ту­ри­ста на спус­ке, если она боль­ше ско­ро­сти на подъёме на 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью ABP  — рав­но­бед­рен­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку O от­ме­че­на точка K так, что ∠BAC + ∠AKC  =  90°.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KBC, если из­вест­но, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен 12, а cos∠BAC  =  0,6.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в)  По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­щих через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?