Сторона квадрата на 2 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон — целые числа.
а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 6?
б) Может ли длина прямоугольника быть равной 9?
в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.
Пусть сторона квадрата равна a, тогда ширина прямоугольника равна a − 2, а длина его равна 
а) Если a − 2 = 6, то 
— нецелое число.
б) Решая уравнение 
найдем подходящее a = 3 или a = 6.
в) Поскольку 
должно быть целым, 4 должно делиться на a − 2, причем a − 2 должно быть положительным (это ширина прямоугольника). Значит, a − 2 = 1, 2, 4, то есть a = 3, 4, 6. Получаем такие варианты:
квадрат 3 × 3 и прямоугольник 1 × 9;
квадрат 4 × 4 и прямоугольник 2 × 8;
квадрат 6 × 6 и прямоугольник 4 × 9.
Ответ: а) нет; б) да; в) 4 × 9 и 6 × 6; 2 × 8 и 4 × 4; 1 × 9 и 3 × 3.
Приведем другое решение.
а) Сторона квадрата равна 6 + 2 = 8, площадь квадрата 82 = 64 и длина прямоугольника 64 : 6 — нецелое число.
б) Да. Прямоугольник с длиной 9 и шириной 4 и квадрат со стороной 6 удовлетворяют условиям.
в) Пусть ширина прямоугольника x, тогда площадь квадрата 
что должно быть кратно x (при делении этой площади на ширину прямоугольника получается его длина), откуда 4 кратно x, возможны варианты x = 1, x = 2, и x = 4. Разберем эти случаи
длина прямоугольника 9.
длина прямоугольника 8.
длина прямоугольника 9.
Ответ: а) нет, б) да, в) 1 × 9 и 3 × 3, 2 × 8 и 4 × 4, 4 × 9 и 6 × 6.