а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC, в ос­но­ва­ни­ии ко­то­рой лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM  — точка F. Из­вест­но, что AD  =  4 и BE  =  2, F  — се­ре­ди­на AM.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ADE − рав­но­сто­рон­ний.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и F.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC, если BH  =  1, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста  — доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 13 по­се­ти­те­лей сайта. Го­ло­са рас­пре­де­ли­лись так, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста стал рав­ным 31. Затем Вася про­го­ло­со­вал за этого фут­бо­ли­ста. Каков те­перь рей­тинг фут­бо­ли­ста с учётом го­ло­са Васи?

б)  Го­ло­са рас­пре­де­ля­ют между двумя фут­бо­ли­ста­ми. Может ли сум­мар­ный рей­тинг быть боль­ше 100?

в)  На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста равен 7. После того как Вася отдал свой голос за этого фут­бо­ли­ста, рей­тинг стал равен 9. При каком наи­боль­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов, вклю­чая Васин голос, такое воз­мож­но?