а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  BC, На ребре BB₁ вы­бра­на точка K так, что BK : B₁K  =  2 : 3. Угол между плос­ко­стя­ми ABC и AKC равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁ равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁, если KC  =  8.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Фирма со­би­ра­ет­ся по­стро­ить новый цех. Стро­и­тель­ство но­во­го цеха стоит 1060 мил­ли­о­нов руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тысяч еди­ниц про­дук­ции в этом цехе равны млн руб. в год. Если про­дук­цию цеха про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит Когда цех будет по­стро­ен, каж­дый год фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки цеха цена про­дук­ции p  =  18 тыс. руб. за еди­ни­цу, каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство цеха?

На окруж­но­сти ω от­ме­че­ны точки M, N, K таким об­ра­зом, что MN  — диа­метр, а K  — се­ре­ди­на дуги MN. Точка E  — се­ре­ди­на хорды MK. Точка B  — се­ре­ди­на дуги KN, не со­дер­жа­щей точку M. Через точку E про­ве­де­на хорда AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  В окруж­ность ω впи­сан пря­мо­уголь­ник ABCD. Най­ди­те его пло­щадь, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно два ре­ше­ния.

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел за­да­на сле­ду­ю­щим со­от­но­ше­ни­ем: Где r_n  — по­след­няя цифра числа 4ⁿ, для всех

а)  Най­ди­те фор­му­лу для члена a_n этой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

б)  При каких зна­че­ни­ях n член по­сле­до­ва­тель­но­сти a_n яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том?

в)  При каких зна­че­ни­ях n член по­сле­до­ва­тель­но­сти a_n яв­ля­ет­ся сте­пе­нью числа 2?