a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Грани ABD и ACD тет­ра­эд­ра ABCD яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми со сто­ро­ной 10 и пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но, причём BK  =  2, AL  =  4, MD  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка пе­ре­се­че­ния грани ABC и плос­ко­сти KLM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вклад в раз­ме­ре 10 млн руб. пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. В конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет раз­мер вкла­да на 10%. Кроме того в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад­чик еже­год­но по­пол­ня­ет вклад на x млн руб., где x  — целое число. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние x, при ко­то­ром банк за че­ты­ре года на­чис­лит на вклад боль­ше 7 млн руб.

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну BC пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AM : MB  =  1 : 3?

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет боль­ше двух ре­ше­ний.

Квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми p и q имеет два на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p, если q  =  5.

б)  Могут ли од­но­вре­мен­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ства p  <  10 и q  >  30?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние p при q  >  30.