Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

В роте два взво­да, в пер­вом взво­де сол­дат мень­ше, чем во вто­ром, но боль­ше, чем 46, а вме­сте сол­дат мень­ше, чем 111. Ко­ман­дир знает, что роту можно по­стро­ить по не­сколь­ко че­ло­век в ряд так, что в каж­дом ряду будет оди­на­ко­вое число сол­дат, боль­ше 8, и при этом ни в каком ряду не будет сол­дат из двух раз­ных взво­дов.

а)  Сколь­ко сол­дат в пер­вом взво­де и сколь­ко во вто­ром? При­ве­ди­те хотя бы один при­мер.

б)  Можно ли по­стро­ить роту ука­зан­ным спо­со­бом по 13 сол­дат в одном ряду?

в)  Сколь­ко в роте может быть сол­дат?

Три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б)  Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не число равно 18?

Крас­ный ка­ран­даш стоит 17 руб­лей, синий  — 13 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 495 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на пять.

а)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 32 ка­ран­да­ша?

б)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 35 ка­ран­да­шей?

в)  Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить при таких усло­ви­ях?

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го на­ту­раль­но­го числа n, что числа n² и (n + 16)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 200.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трёхзнач­ных чисел n с ука­зан­ным в пунк­те а свой­ством?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет двух­знач­ных чисел m, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет ровно 36 трёхзнач­ных чисел n, таких, что n² и (n + m)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 200.