ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 558624 Добавить в вариант

а)  Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют одинаковые остатки при делении на 69?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют одинаковые остатки при делении на 68?

в)  Пусть k(m)  — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m  — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.

Спрятать решение

Решение.

а)  Разность этих чисел равна

$левая круглая скобка n плюс 17 правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате = левая круглая скобка n плюс 17 минус n правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 17 плюс n правая круглая скобка =17 левая круглая скобка 2n плюс 17 правая круглая скобка .$

Если выбрать n так, чтобы $2n плюс 17=69$ (то есть n  =  26), то полученное число будет кратно 69, а изначальные два будут давать одинаковые остатки от деления на 69.

б)  Одно из этих чисел четно, а другое нечетно. Значит, они не могут давать одинаковые остатки от деления на четное число.

в)  Как и в пункте а), получим, что $левая круглая скобка n плюс m правая круглая скобка в квадрате минус n в квадрате =m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка$ кратно 68. Если m нечетно, то это произведение двух нечетных чисел и оно не кратно 68. Пусть $m=2x,$ тогда

$m левая круглая скобка 2n плюс m правая круглая скобка =2x левая круглая скобка 2n плюс 2x правая круглая скобка =4x левая круглая скобка n плюс x правая круглая скобка$

кратно 68. То есть $x левая круглая скобка n плюс x правая круглая скобка$ кратно 17. Если x кратно 17, то все такие числа кратны 17, что нам невыгодно. Значит, n + x кратно 17. Подходящие n попадаются через каждые 17 чисел. В качестве x можно выбирать числа от 5 до 49 (поскольку 2x  — двузначное число).

Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каждым остатком от деления на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, например, числа с остатком 14 (таким числом было бы 1000). Поэтому если выбрать x  =  20 (то есть m  =  40), то будет 52 подходящих числа.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  52.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а  — г.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 338

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь