а)  Су­ще­ству­ют ли на­ту­раль­ные числа m и n, такие, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на равен 33?

б)  Су­ще­ству­ют ли на­ту­раль­ные числа m и n, такие, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на равен 26?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет дис­кри­ми­нант D квад­рат­но­го трех­чле­на если из­вест­но, что числа m, n и D  — на­ту­раль­ные?

На доске на­пи­са­но n еди­ниц, между не­ко­то­ры­ми из ко­то­рых по­ста­ви­ли знаки + и по­счи­та­ли сумму. На­при­мер, если из­на­чаль­но было на­пи­са­но n  =  12 еди­ниц, то могла по­лу­чить­ся, на­при­мер, такая сумма:

а)  Могла ли сумма рав­нять­ся 150, если n  =  60?

б)  Могла ли сумма рав­нять­ся 150, если n  =  80?

в)  Чему могло рав­нять­ся n, если по­лу­чен­ная сумма чисел равна 150?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 3 и окан­чи­ва­ют­ся на 4.

а)  Может ли сумма со­став­лять 282?

б)  Может ли их сумма со­став­лять 390?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 198?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 270?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1518?

На доске было на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Эти числа раз­би­ли на три груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых ока­за­лось хотя бы одно число. К каж­до­му числу из пер­вой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 6, к каж­до­му числу из вто­рой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 9, а числа тре­тьей груп­пы оста­ви­ли без из­ме­не­ний.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 9 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 19 раз?

в)  В какое наи­боль­шее число раз могла уве­ли­чить­ся сумма всех этих чисел?

На доске было на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Эти числа раз­би­ли на три груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых ока­за­лось хотя бы одно число. К каж­до­му числу из пер­вой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 3, к каж­до­му числу из вто­рой груп­пы  — цифру 7, а числа из тре­тьей груп­пы оста­ви­ли без из­ме­не­ний.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 8 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 17 раз?

в)  В какое наи­боль­шее число раз могла уве­ли­чить­ся сумма всех этих чисел?

В на­бо­ре 100 гирек весом 1,2, ..., 100 грам­мов. Их раз­ло­жи­ли на две кучки, так что в каж­дой кучке есть хотя бы одна гирь­ка. Потом из вто­рой кучки пе­ре­ло­жи­ли одну гирь­ку в первую кучку. В ре­зуль­та­те сред­няя масса гирь­ки в пер­вой кучке уве­ли­чи­лась ровно на один грамм.

а)  Могла ли пер­вая кучка (до пе­ре­кла­ды­ва­ния) со­сто­ять из гирек с ве­са­ми 1 г, 5 г, 9 г?

б)  Мог ли сред­ний вес гирек в пер­вой кучке до пе­ре­кла­ды­ва­ния рав­нять­ся 7,5 грам­мов?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой кучке?

В на­бо­ре 70 гирек мас­сой 1, 2, ..., 70 грам­мов. Их раз­ло­жи­ли на две кучки так, что в каж­дой кучке есть хотя бы одна гирь­ка. Потом из вто­рой кучки пе­ре­ло­жи­ли одну гирь­ку в первую кучку. В ре­зуль­та­те сред­няя масса гирек в пер­вой кучке уве­ли­чи­лась ровно на один грамм.

а)  Могла ли пер­вая кучка (до пе­ре­кла­ды­ва­ния) со­сто­ять из гирек с ве­са­ми 11 г, 15 г, 19 г?

б)  Мог ли сред­ний вес гирек в пер­вой кучке до пе­ре­кла­ды­ва­ния рав­нять­ся 9,5 грам­ма?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой кучке?

Сорок гирек мас­сой 1 г, 2 г, ..., 40 г раз­ло­жи­ли по двум кучам, в каж­дой куче хотя бы одна гирь­ка. Масса каж­дой гирь­ки вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. Затем из вто­рой кучи пе­ре­ло­жи­ли в первую одну гирь­ку. После этого сред­няя масса гирек в пер­вой куче уве­ли­чи­лась на 1 г.

а)  Могло ли такое быть, если пер­во­на­чаль­но в пер­вой куче ле­жа­ли толь­ко гирь­ки мас­сой 6 г, 10 г и 14 г?

б)  Могла ли сред­няя масса гирек в пер­вой куче пер­во­на­чаль­но рав­нять­ся 8,5 г?

в)  Какое наи­боль­шее число гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой куче?

Де­сять маль­чи­ков и семь де­во­чек пошли в лес за гри­ба­ми. Из­вест­но, что любые две де­воч­ки на­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три маль­чи­ка, но любые пять маль­чи­ков на­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три де­воч­ки.

а)  Может ли так слу­чить­ся, что какая-⁠то де­воч­ка на­бра­ла мень­ше гри­бов, чем какой-⁠ни­будь маль­чик?

б)  Может ли так слу­чить­ся, что ко­ли­че­ство най­ден­ных гри­бов у всех детей будет раз­лич­ным?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство гри­бов, со­бран­ное всеми детьми сум­мар­но.

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 3, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 6. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни?

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы два маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет. У любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый отдал со­се­ду спра­ва чет­верть своих кон­фет. После этого у любых двух де­во­чек ока­за­лось оди­на­ко­вое число кон­фет, а у любых двух маль­чи­ков  — раз­ное. Из­вест­но, что каж­дый из детей отдал на­ту­раль­ное число кон­фет.

а)  Может ли маль­чи­ков быть ровно столь­ко же, сколь­ко де­во­чек?

б)  Может ли маль­чи­ков быть боль­ше, чем де­во­чек?

в)  Пусть де­во­чек вдвое боль­ше, чем маль­чи­ков. Может ли у всех детей сум­мар­но быть 328 кон­фет?

По кругу стоят не­сколь­ко детей, среди ко­то­рых есть хотя бы 2 маль­чи­ка и хотя бы две де­воч­ки. У каж­до­го из детей есть на­ту­раль­ное число кон­фет. У любых двух маль­чи­ков оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — раз­ное. По ко­ман­де каж­дый отдал со­се­ду спра­ва одну тре­тью или одну чет­вер­тую своих кон­фет. После этого у любых двух маль­чи­ков стало раз­ное ко­ли­че­ство кон­фет, а у любых двух де­во­чек  — оди­на­ко­вое. Из­вест­но, что каж­дый отдал на­ту­раль­ное число кон­фет.

а)  Воз­мож­но ли, чтобы маль­чи­ков было столь­ко же, сколь­ко и де­во­чек?

б)  Могло ли быть ровно 4 маль­чи­ка?

в)  Могло ли быть ровно 10 маль­чи­ков?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, в за­пи­си ко­то­рых могут быть толь­ко цифры 1 и 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?