Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 516766

Дано квадратное уравнение ax в степени 2 плюс bx плюс c=0, где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Решение.

а) Да, например, 2x в степени 2 плюс 16x плюс 14=0.

б) Пусть уравнение ax в степени 2 плюс bx плюс c=0 имеет корень −53. Тогда 53 в степени 2 a минус 53b плюс c=0(*), откуда c=53b минус 53 в степени 2 a, а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: c=53. Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем 53a минус b плюс 1=0, откуда b=53a плюс 1. Если a больше или равно 2, то b больше или равно 107, поэтому a=1, b=54. Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.

в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное  целое  число,  меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение x в степени 2 плюс 52x плюс 100=0 имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: а) да, например, 2x в степени 2 плюс 16x плюс 14=0; б) нет; в) –50.


Аналоги к заданию № 516766: 516785 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства