а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды ABCD лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC. Все бо­ко­вые ребра на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним и тем же углом.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра AB и ребро DC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Банк предо­став­ля­ет кре­дит на срок 3 года на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся в конце каж­до­го по­лу­го­дия из рас­че­та: I год  — по 10% за по­лу­го­дие, II год  — по 20% за по­лу­го­дие, III год  — по 25% за по­лу­го­дие. Пла­те­жи вно­сят­ся рав­ны­ми сум­ма­ми в конце каж­до­го по­лу­го­дия, кроме пер­во­го, после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Чему равен по­лу­го­до­вой пла­теж при кре­ди­те в 2,54 млн руб­лей?

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны бис­сек­три­сы всех внут­рен­них углов. Че­ты­рех­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния этих бис­сек­трис, имеет пло­щадь, рав­ную двум тре­тям пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис всех внут­рен­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин боль­шей и мень­шей сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Име­ет­ся урав­не­ние числа a, b и c  — целые,

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния b, если из­вест­но, что a  =  10, c  =  30, а урав­не­ние имеет два раз­лич­ных целых корня?

б)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния кор­ней, если b  =  c и урав­не­ние имеет либо два раз­лич­ных целых корня, либо один целый ко­рень крат­но­сти 2.

в)  Из­вест­но, что и урав­не­ние имеет корни, при­чем все корни яв­ля­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми. Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния кор­ней.