а)  Да. На­при­мер, если числа рас­ста­вить так, как по­ка­за­но в таб­ли­це, при­ве­ден­ной ниже слева, Петя по­лу­чит 12, а Вася  — 6.

б)  Наи­мень­шая сумма, ко­то­рая может по­лу­чить­ся у Васи, равна 6. Чтобы у Пети было в 6 раз боль­ше, его сумма долж­на рав­нять­ся 36. Для этого в каж­дой стро­ке все числа долж­ны быть равны 6. Но тогда Вася не по­лу­чит в сумме 6. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Для таб­ли­цы 2, при­ве­ден­ной ниже спра­ва, Петя по­лу­чит 31, а Вася  — 6. Таким об­ра­зом, у Пети в раза боль­ше, чем у Васи. По­ка­жем, что боль­ше­го от­но­ше­ния по­лу­чить не­воз­мож­но. Дей­стви­тель­но, для любой за­дан­ной таб­ли­цы чисел до­стичь наи­боль­ше­го от­но­ше­ния сумм наи­мень­ших по стро­кам и столб­цам эле­мен­тов можно, пре­об­ра­зо­вав ее сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

1)  за­пи­сать стро­ки в по­ряд­ке убы­ва­ния (не­воз­рас­та­ния) наи­мень­ших эле­мен­тов в них;

2)  затем внут­ри каж­до­го из столб­цов за­ме­нить эле­мен­ты более вы­со­ких строк на боль­шие эле­мен­ты из ниж­них строк. При этом наи­мень­шие эле­мен­ты в каж­дой из строк не умень­ша­ют­ся, а наи­мень­шие эле­мен­ты в каж­дом из столб­цов не ме­ня­ют­ся (*).

В ре­зуль­та­те ходов 1) и 2) любая ис­ход­ная таб­ли­ца пре­об­ра­зу­ет­ся в таб­ли­цу, где внут­ри каж­до­го из столб­цов эле­мен­ты за­пи­са­ны в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. В силу (*) от­но­ше­ние сумм наи­мень­ших по стро­кам и столб­цам эле­мен­тов для по­лу­чен­ной таб­ли­цы мак­си­маль­но. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее от­но­ше­ние будет до­стиг­ну­то для таб­ли­цы, в ко­то­рой эле­мен­ты каж­дой стро­ки, кроме по­след­ней, мак­си­маль­ны (то есть равны 6), а по­след­ней  — ми­ни­маль­ны (то есть равны 1).

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

а)  Да. За­пол­ним, на­при­мер, первую стро­ку таб­ли­цы еди­ни­ца­ми, вто­рую трой­ка­ми, а осталь­ные  — двой­ка­ми. Тогда сумма у Васи будет 6, а у Пети  — 12.

б)  Нет. Ва­си­на сумма не мень­ше 6, а Пе­ти­на не боль­ше 36, по­это­му они могут от­ли­чать­ся в 6 раз, толь­ко если равны 6 и 36, то есть все Пе­ти­ны числа  — ше­стер­ки. Зна­чит, все числа во всех стро­ках равны шести, и Ва­си­на сумма тоже равна 36.

в)  Если за­нять первую стро­ку еди­ни­ца­ми, а осталь­ные стро­ки ше­стер­ка­ми, то у Пети по­лу­чит­ся сумма 31, то есть от­ли­чать­ся они будут в раза.

Если у Васи сумма не равна 6, то от­ли­чие не более чем в по­это­му такие ва­ри­ан­ты не под­хо­дят. Если же Ва­си­на сумма равна 6, то в таб­ли­це обя­за­тель­но есть число 1. Петя вы­бе­рет его как наи­мень­шее в какой-⁠то стро­ке и общая сумма будет не боль­ше по­это­му при­ве­ден­ный нами ответ оп­ти­маль­ный.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)