СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 517835

В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Решение.

а) Да. Например, если числа расставить так, как показано в таблице, приведенной ниже слева, Петя получит 12, а Вася — 6.

б) Наименьшая сумма, которая может получиться у Васи, равна 6. Чтобы у Пети было в 6 раз больше, его сумма должна равняться 36. Для этого в каждой строке все числа должны быть равны 6. Но тогда Вася не получит в сумме 6. Противоречие.

в) Для таблицы 2, приведенной ниже справа, Петя получит 31, а Вася — 6. Тем самым, у Пети в раза больше, чем у Васи. Покажем, что большего отношения получить невозможно. Действительно, для любой заданной таблицы чисел достичь наибольшего отношения сумм наименьших по строкам и столбцам элементов можно, преобразовав ее следующим образом:

1) записать строки в порядке убывания (невозрастания) наименьших элементов в них;

2) затем внутри каждого из столбцов заменить элементы более высоких строк на большие элементы из нижних строк. При этом наименьшие элементы в каждой из строк не уменьшаются, а наименьшие элементы в каждом из столбцов не меняются (*).

В результате ходов 1) и 2) любая исходная таблица преобразуется в таблицу, где внутри каждого из столбцов элементы записаны в порядке неубывания. В силу (*) отношение сумм наименьших по строкам и столбцам элементов для полученной таблицы максимально. Следовательно, наибольшее отношение будет достигнуто для таблицы, в которой элементы каждой строки, кроме последней, максимальны (т. е. равны 6), а последней — минимальны (т. е. равны 1).

 

ЧислаНаим.
по
строке
4444444
4444444
1111111
1111111
1111111
1111111
Наим.
по
столбцу
111111

ЧислаНаим.
по
строке
6666666
6666666
6666666
6666666
6666666
1111111
Наим.
по
столбцу
111111

 

Приведём другое решение.

а) Да. Заполним, например, первую строку таблицы единицами, вторую тройками, а остальные — двойками. Тогда сумма у Васи будет 6, а у Пети 12.

б) Нет. Васина сумма не меньше 6, а Петина не больше 36, поэтому они могут отличаться в 6 раз только если равны 6 и 36, то есть все Петины числа — шестерки. Значит, все числа во всех строках равны шести, и Васина сумма тоже равна 36.

в) Если занять первую строку единицами, а остальные строки шестерками, то у Пети получится сумма 31, то есть отличаться они будут в раза.

Если у Васи сумма не равна 6, то отличие не более чем в поэтому такие варианты не подходят. Если же Васина сумма равна 6, то в таблице обязательно есть число 1. Петя выберет его как наименьшее в какой-то строке и общая сумма будет не больше поэтому приведенный нами ответ оптимальный.

 

Ответ: а) да; б) нет; в)


Аналоги к заданию № 517835: 518149 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства