а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В тет­ра­эд­ре ABCD про­ти­во­по­лож­ные ребра по­пар­но равны. Точки M, N и K се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер BD, AC и DC со­от­вет­ствен­но. Через точку K про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость α, па­рал­лель­ная реб­рам BD и AC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти α, если и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Фирма пла­ни­ру­ет взять в ян­ва­ре кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на 4 года на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях:

—  в июле каж­до­го года долг фирмы воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом года;

—  в конце 1-⁠го и 3-⁠го годов фирма вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, на­чис­лен­ные за со­от­вет­ству­ю­щий те­ку­щий год;

—  в конце 2-⁠го и 4-⁠го годов фирма вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая к концу 4-⁠го года весь долг пол­но­стью.

Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат пре­вы­сит 100 мил­ли­о­нов руб­лей.

На сто­ро­нах AB, BC и AD со­от­вет­ствен­но квад­ра­та ABCD взяты точки M, K и N, такие, что и

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN со­став­ля­ет пло­ща­ди квад­ра­та ABCD.

б)  Най­ди­те синус угла между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка MKCN.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

С на­ту­раль­ным чис­лом про­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: между каж­ды­ми двумя его со­сед­ни­ми циф­ра­ми за­пи­сы­ва­ют мо­дуль раз­но­сти этих цифр (на­при­мер, из числа 2673 по­лу­ча­ет­ся число 2 461 743).

а)  Может ли из ка­ко­го-ни­будь числа по­лу­чить­ся число 1 234 774 321?

б)  Может ли из трех­знач­но­го числа по­лу­чить­ся число, де­ля­ще­е­ся на 11?

в)  Сколь­ко всего су­ще­ству­ет трех­знач­ных чисел, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых от­сут­ству­ют нули, а число де­сят­ков не менее числа сотен и еди­ниц, таких, что после вы­пол­не­ния ука­зан­ной выше опе­ра­ции по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 11?