Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 521670

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение.

Пусть данное число равно 100a плюс 10b плюс c где a,b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно.

 

а) Если частное этого числа и суммы его цифр равно 89 то выполнено равенство 100a плюс 10b плюс c=89(a плюс b плюс c), 11a=79b плюс 88c. Можно взять, например, число 801.

 

б) Если частное этого числа и суммы его цифр равно 86 то выполнено равенство 100a плюс 10b плюс c=86(a плюс b плюс c), 14a=76b плюс 85c. Равенства 14a=76b и 14a=85c невозможны, поскольку a не делится на 19 или 17. Значит, в числе нет нулей, но тогда 14a меньше или равно 14 умножить на 9 меньше 140 меньше 76 плюс 85 меньше или равно 76b плюс 85c.

 

в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100, и суммы его цифр. Тогда

100a плюс 10b плюс c=ka плюс kb плюс kc равносильно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a= левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c.

Учитывая, что b плюс c больше 0, получаем:

9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a= левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c больше или равно левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка больше или равно k минус 10,

откуда 9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка больше или равно k минус 10 равносильно 10k\le910 равносильно k\le91.

Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.


Аналоги к заданию № 502027: 521670 502058 503325 503365 511370 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 223.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства