Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 512383

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 23 конец дроби ?

б) Может ли дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби быть в 11 раз меньше, чем сумма  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби , если a больше 4b и c больше 7d?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть a = 10, b = 20, c = 14 и d = 72. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 92 конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 23 конец дроби .

б) Предположим, что 11 умножить на дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби . Тогда

11 умножить на левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка bd= левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка левая круглая скобка ad плюс bc правая круглая скобка ,

11abd плюс 11bcd=abd плюс bcd плюс ad в квадрате плюс b в квадрате c,

10abd минус ad в квадрате =b в квадрате c минус 10bcd,

ad левая круглая скобка 10b минус d правая круглая скобка =bc левая круглая скобка b минус 10d правая круглая скобка .

С другой стороны, имеем

10b минус d\geqslant10 умножить на 10 минус 99 больше 0 больше 99 минус 10 умножить на 10 больше или равно b минус 10d.

Следовательно, числа ad левая круглая скобка 10b минус d правая круглая скобка и bc левая круглая скобка b минус 10d правая круглая скобка имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что 99 больше или равно a больше или равно 4b плюс 1 и с больше или равно 7d плюс 1. Значит, b меньше или равно дробь: числитель: 98, знаменатель: 4 конец дроби меньше 25. Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b ≤ 24.

Используя неравенства

a\geqslant4b плюс 1,c\geqslant7d плюс 1,b меньше или равно 24,d больше или равно 10,

получаем

 дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно дробь: числитель: 4b плюс 7d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби =4 плюс дробь: числитель: 3d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби \geqslant4 плюс дробь: числитель: 3d плюс 2, знаменатель: d плюс 24 конец дроби =7 минус дробь: числитель: 70, знаменатель: d плюс 24 конец дроби \geqslant7 минус дробь: числитель: 70, знаменатель: 34 конец дроби = дробь: числитель: 84, знаменатель: 17 конец дроби .

Пусть a = 97, b = 24, c = 71 и d = 10. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 168, знаменатель: 34 конец дроби = дробь: числитель: 84, знаменатель: 17 конец дроби . Следовательно, наименьшее возможное значение дроби  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби равно  дробь: числитель: 84, знаменатель: 17 конец дроби .

 

Ответ: а) Да, например, если a = 10, b = 20, c = 14 и d = 72; б) нет; в)  дробь: числитель: 84, знаменатель: 17 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

– пример в п. а,

– обоснованное решение в п. б,

– искомая оценка в п. в,

– пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 509326: 512341 512383 509347 517205 517243 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства