а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем тре­уголь­ной приз­мы ABC₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 1, а бо­ко­вое ребро равно Диа­го­наль бо­ко­вой грани A₁B пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны ВС.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АМ и A₁C пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁C и BC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму на 48 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга,

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 24-⁠й долг дол­жен быть на 100 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 25-⁠го по 48-⁠й долг дол­жен быть на 50 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

—  к 15-⁠му числу 48-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

Ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник АВС впи­сан в окруж­ность ω. Точки O₁ и O₂  — цен­тры внев­пи­сан­ных окруж­но­стей ω₁ и ω₂, ка­са­ю­щих­ся от­рез­ков АВ и АС со­от­вет­ствен­но. Точка М  — се­ре­ди­на боль­шей дуги ВС окруж­но­сти ω.

а)  До­ка­жи­те, что точка М лежит на пря­мой O₁O₂.

б)  На бис­сек­три­се угла ВАС вы­бра­на точка К такая, что Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ВКС, если сумма ра­ди­у­сов окруж­но­стей ω₁ и ω₂ равна и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Де­ли­тель d на­ту­раль­но­го числа n будем на­зы­вать спе­ци­аль­ным, если числа d и вза­им­но про­стые. Оче­вид­но, что f также яв­ля­ет­ся спе­ци­аль­ным де­ли­те­лем и при При n  =  1 есть един­ствен­ный де­ли­тель d  =  1. и хотя будем счи­тать d  =  1 спе­ци­аль­ным де­ли­те­лем, так как d и f вза­им­но про­стые числа.

а)  Сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел могут иметь толь­ко спе­ци­аль­ные де­ли­те­ли?

б)  Для каких чисел n сумма всех спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей не­чет­ная?

в)  Най­ди­те все числа у ко­то­рых ко­ли­че­ство всех де­ли­те­лей в 3 раза боль­ше, чем ко­ли­че­ство спе­ци­аль­ных де­ли­те­лей.