Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 515711

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ?

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 ?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Решение.

а) Например, числа 10, 11, 15.

б) В тупоугольном треугольнике сумма квадратов меньших сторон меньше квадрата большей стороны. Пусть a, b, c — искомые числа. По условию a меньше b меньше c, a=4x, c=5x. Имеем:

 система выражений 25x в степени 2 больше 16x в степени 2 плюс b в степени 2 ,b больше 4x конец системы . равносильно система выражений 9x в степени 2 больше b в степени 2 ,b больше 4x конец системы . \underset{x больше 0, b больше 0}{\mathop{ равносильно }} система выражений 3x больше b,b больше 4x конец системы . равносильно система выражений b меньше 3x,b больше 4x. конец системы .

Получили противоречие. Значит, такого быть не может.

в) По условию b=18. Тогда:

c в степени 2 больше 324 плюс a в степени 2 \underset{a больше 0}{\mathop{ равносильно }} дробь, числитель — c в степени 2 , знаменатель — a в степени 2 больше дробь, числитель — 324, знаменатель — a в степени 2 плюс 1 равносильно дробь, числитель — c, знаменатель — a больше корень из { дробь, числитель — 324, знаменатель — a в степени 2 плюс 1}.

Чем больше a, тем меньше значение может принимать  дробь, числитель — c, знаменатель — a . Поэтому необходимо найти наибольшее a. Пусть a=17:

c в степени 2 больше 18 в степени 2 плюс 17 в степени 2 равносильно c в степени 2 больше 613 \underset{c принадлежит N}{\mathop{ равносильно }} c больше 25.

Наименьшее значение равно  дробь, числитель — c, знаменатель — a = дробь, числитель — 25, знаменатель — 17 .

 

Ответ: а) Да, например, числа 10, 11 и 15; б) нет; в)  дробь, числитель — 25, знаменатель — 17 .


Аналоги к заданию № 513269: 515711 514712 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства