Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 627994

Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму S.

а) Может ли быть S= целая часть: 41, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 24 ?

б) Может ли быть S= целая часть: 569, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 72 ?

в) Найдите наибольшее целое S, если все четыре числа лежат в отрезке от 400 до 999 включительно.

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например,

 дробь: числитель: 89, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 90, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 91, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 92, знаменатель: 9 конец дроби = целая часть: 11, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 плюс 10 плюс целая часть: 10, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 плюс целая часть: 10, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 9 = целая часть: 41, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = целая часть: 41, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 24 .

б) Нет. Допустим, это возможно. Сразу заметим, что для любого n-значного числа результат деления на первую цифру не меньше 10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка и не больше 10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка , поэтому среди наших чисел нет четырехзначных, но есть трехзначные. Поскольку знаменатель 72 может появиться только при сложении дробей со знаменателями 8 и 9, эти четыре числа имеют среди своих первых цифр и 8, и 9, поэтому среди них точно есть 899 и 900. Тогда максимально возможная сумма составит

 дробь: числитель: 897, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 898, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 899, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 900, знаменатель: 9 конец дроби = целая часть: 112, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 плюс целая часть: 112, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 8 плюс целая часть: 112, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 плюс 100 меньше целая часть: 569, дробная часть: числитель: 29, знаменатель: 72 .

в) Если все эти числа начинаются с одной и той же цифры x, то сумма равна

 дробь: числитель: n, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: n плюс 3, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 4n плюс 6, знаменатель: x конец дроби ,

что не может быть целым при x = 4. Кроме того, сумма числителей не превосходит

100x плюс 96 плюс 100x плюс 97 плюс 100x плюс 98 плюс 100x плюс 99=400x плюс 390,

значит, сумма не превосходит

 дробь: числитель: 400x плюс 390, знаменатель: x конец дроби =400 плюс дробь: числитель: 390, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 400 плюс дробь: числитель: 390, знаменатель: 5 конец дроби =478.

Этот ответ достигается для чисел 596, 597, 598, 599. Если же первые цифры могут быть различными, то одно из чисел кратно 100, поэтому результат деления его на первую цифру это 100. Любой другой результат не превосходит

 дробь: числитель: 100x плюс 99, знаменатель: x конец дроби =100 плюс дробь: числитель: 99, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 100 плюс дробь: числитель: 99, знаменатель: 4 конец дроби меньше 125,

поэтому сумма четырех результатов не превосходит 3 умножить на 125 плюс 100=475 меньше 478.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 478.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в3
Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен2
Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Москва. Вариант 1, Задания 18 ЕГЭ–2022
Классификатор алгебры: Числа и их свойства