а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, L и M  — се­ре­ди­ны ребер AB, B₁C₁ и DD₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние куба плос­ко­стью KLM яв­ля­ет­ся пра­виль­ным мно­го­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки A до плос­ко­сти KLM, если ребро куба равно 2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В на­ча­ле 1977 года Али­шер по­ло­жил в пу­стой сейф 1 млн руб. В на­ча­ле каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го года он вы­ни­ма­ет из сейфа m% име­ю­щих­ся там руб­лей. При каком зна­че­нии m он вынет из сейфа в на­ча­ле 1982 года мак­си­маль­ную сумму?

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­наль AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла BAD и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью BD в точке E. Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что AE · AC  =  AD · AB.

б)  Най­ди­те AE, если из­вест­но, что BC  =  7, CE  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

а)  Можно ли в вы­ра­же­нии вме­сто всех зна­ков * рас­ста­вить знаки + и − так, чтобы в ре­зуль­та­те по­лу­чил­ся нуль?

б)  Можно ли в вы­ра­же­нии вме­сто всех зна­ков * рас­ста­вить знаки + и − так, чтобы в ре­зуль­та­те по­лу­чил­ся нуль?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных чисел можно вы­брать из на­бо­ра и рас­ста­вить знаки + и − так, чтобы их сумма стала равна нулю?