а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ из­вест­ны рёбра: AB AA₁  =  4. Точка M  — се­ре­ди­на ребра BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁C и C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой C₁M и плос­ко­стью грани ABB₁A₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A и ост­рым углом при вер­ши­не D впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Пря­мая DO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке M, а пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOM, если и

Борис яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t ² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Борис пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де,  — 200 руб­лей.

Бо­ри­су нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 70 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму придётся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

а)  При­ве­ди­те при­мер се­ми­знач­но­го числа из ко­то­ро­го, вычёрки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 123, 426, 786.

б)  Су­ще­ству­ет ли де­вя­ти­знач­ное число из ко­то­ро­го, вычёрки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, из ко­то­ро­го можно по­лу­чить все числа от 1 до 40 вклю­чи­тель­но, вычёрки­вая из него цифры.