Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630222

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

Спрятать решение

Решение.

а) Сумма цифр числа 910 равна 10. Следовательно, в результате операции из этого числа получится

 дробь: числитель: 910 минус 10, знаменатель: 3 конец дроби =300.

б) Пусть число равно 100a плюс 10b плюс c, где a, b и c — цифры, a не равно q 0. Тогда сумма цифр такого числа равна a плюс b плюс c, а в результате операции из него получится число

 дробь: числитель: левая круглая скобка 100 a плюс 10 b плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби =33 a плюс 3 b .

Получившееся число делится на 3. Следовательно, число 151 не могло получиться.

в) Заметим, что получившееся число не зависит от последней цифры исходного числа, поэтому достаточно найти количество различных чисел, получающихся из чисел, делящихся на 10 .

Рассмотрим числа 100 a плюс 10 b и 100 x плюс 10 y, где a, b, x, y — цифры и a не равно q 0, x не равно q 0. В результате операции из них получатся числа 33 a плюс 3 b и 33 x плюс 3 y соответственно. Разность этих чисел равна 33 левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка b минус y правая круглая скобка . Если a не равно q x, то эта разность не может быть равной нулю, поскольку |3 левая круглая скобка b минус y правая круглая скобка | меньше или равно 27. Если a=x, то разность может быть равной нулю только при b=y, то есть если исходные числа совпадают. Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.

Среди чисел от 100 до 600 ровно 51 число делится на 10. Следовательно, в результате операции из чисел от 100 до 600 может получиться 51 различное число.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 51.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в3
Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен2
Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 630222: 630193 Все

Источник: Задания 18 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 337