Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель — натуральное число.
а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.
б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?
в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?
а) Требуемое представление: 
б) Пусть 
причем 
Тогда 
противоречие. Если же 
то 
и подобрать нужное y все равно нельзя.
в) Очевидно, любая конечная сумма таких дробей рациональна. Докажем, что любое рациональное число можно записать в таком виде. Будем выбирать наибольшую дробь вида 
не большую имеющегося в данный момент числа. Тогда 
то есть 
Тогда 
то есть с каждым вычитанием соответствующей дроби числитель оставшейся дроби уменьшается. Рано или поздно он станет равен 0, в этот момент сумма всех вычтенных чисел будет равна исходному числу.
Ответ: a) 
б) нет; в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.