а)  Да. На­при­мер, число

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число есть и его де­ся­тич­ная за­пись имеет вид где a, b, c, d и e  — это раз­лич­ные, рас­став­лен­ные в не­ко­то­ром (воз­мож­но, ином) по­ряд­ке цифры 3, 4, 5, 6 и 7. По­сколь­ку число де­лит­ся на по­лу­ча­ем, что оно де­лит­ся на 101 и 5. Зна­чит, Имеем

Сле­до­ва­тель­но, раз­ность де­лит­ся на 101 и найдётся такое на­ту­раль­ное число что Так как c может при­ни­мать зна­че­ния 3, 4, 6 или 7, от­сю­да по­лу­ча­ем, что k может при­ни­мать зна­че­ния 8, 9, 1 или 2 со­от­вет­ствен­но. Если то Если то При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Пусть   — это де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-⁠либо числа с доски. Имеем

Число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда число де­лит­ся на 11. Сумма цифр каж­до­го из чисел с доски равна

Зна­чит, По­сколь­ку может при­ни­мать зна­че­ния от 7 до 13, по­лу­ча­ем, что число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда то есть когда b и d  — это раз­лич­ные, рас­став­лен­ные в не­ко­то­ром (воз­мож­но, ином) по­ряд­ке цифры 3 и 4. Среди чисел ука­зан­но­го вида наи­боль­шим чис­лом на доске яв­ля­ет­ся 74 635.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  74635.