Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
Заметим, что треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.
а) Да, например в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 выполнено 
и 
б) Нет. Пусть большая сторона равна 8x, а меньшая — 7x. Тогда средняя не меньше 7x, но 
в) Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда 
и нужно минимизировать 
Рассмотрим любую подходящую пару чисел 
и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему 
(к правой части прибавили 
а к левой — 
), 
(к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было 
стало 
). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 24.
Теперь будем просто уменьшать c, пока это возможно, то есть пока 
Наименьшее такое c — это 35. Поэтому ответ 
Ответ: а) да; б) нет; в)
Комментарий Сергея Николаева.
Укажем, как получить оценку из п. в) геометрически. Пусть меньшая сторона равна a, большая равна c, а С — угол, противолежащий стороне длины с. Из теоремы косинусов следует, что 
Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a = 24. Далее, так же как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении