В натуральном числе каждая цифра, кроме первой и последней, меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.
а) Приведите пример такого четырёхзначного числа.
б) Приведите пример такого шестизначного числа.
в) Найдите наибольшее такое число.
а) Например, 5115.
б) Например, 931 139.
в) Пусть x, y, z — три цифры этого числа, идущие подряд. Тогда x + z > 2y, откуда 
то есть разности между соседними цифрами уменьшаются. Заметим также, что сумма всех этих разностей равна разности между первой и последней цифрами. Далее, среди этих разностей не может быть 4 положительных (тогда пятая цифра отличалась бы от первой минимум на 1 + 2 + 3 + 4 = 10) или 4 отрицательных. Значит, максимальное число разностей 7, поэтому число не более чем восьмизначное. Такое восьмизначное действительно существует, например 96 433 469.
Заметим, что в оптимальном примере по три положительных и отрицательных разности и еще разность 0. При этом первая цифра не больше 9, вторая не больше 9 − 3 = 6, третья не больше 9 − 3 − 2 = 4, четвертая не больше 9 − 3 − 2 − 1 = 3. Пятая должна быть равна четвертой, шестая не больше 9 − 3 − 2 = 4 (из нее вычитают минимум 
и получают последнюю цифру), аналогично получаем остальные две цифры. Итак, найденный пример оптимален.
Ответ: а) 5115; б) 931 139; в) 96 433 469.