СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 519687

а) Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б) Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в) Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Решение.

а) Заметим, что поэтому годится, например, число 135.

 

б) Заметим, что поэтому годится, например, число 378.

 

в) Обозначим сумму цифр числа за Получим уравнение: или Заметим, что делится на 3, значит и делится на 3 по признаку делимости. Таким образом, делится на 9, значит, по признаку делимости, При и получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если то и При получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если то  — семизначное число, однако сумма цифр семизначного числа не может быть равна то есть верно неравенство Посмотрим, что происходит при увеличении x на единицу. Сумма цифр увеличивается на 9, то есть количество разрядов числа увеличивается хотя бы на 1. А увеличивается на 142857, то есть не может увеличиться больше чем на разряд. Таким образом, если при каком-то выполняется неравенство то и при увеличении это неравенство останется справедливым.

Значит, единственным решением будет число 428571.

 

Ответ: а) 135; б) да; 378; в) 428571.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства