а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−1; 1].

Пер­пен­ди­ку­ляр­ные и рав­ные ребра АD и ВС тет­ра­эд­ра АВСD яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми двух ос­но­ва­ний ци­лин­дра, длина об­ра­зу­ю­щей ко­то­ро­го равна длине ребра ВС.

а)  До­ка­жи­те, что осе­вое се­че­ние ци­лин­дра, про­хо­дя­щее через ВС, делит вы­со­ту тет­ра­эд­ра ABCD, опу­щен­ную на грань АВС, в от­но­ше­нии 5 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ап­ре­ле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 4 года. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по март каж­до­го из 2026, 2027, 2028 годов надо вы­пла­тить часть долга, при­чем каж­дый из пла­те­жей 2027 и 2028 годов в 1,2 раза боль­ше пла­те­жа преды­ду­ще­го года;

—  в пе­ри­од с фев­ра­ля по март 2029 года вы­пла­чи­ва­ет­ся остав­ша­я­ся сумма по кре­ди­ту, рав­ная 147 675 руб­лям.

Най­ди­те сумму кре­ди­та, если общие вы­пла­ты по кре­ди­ту со­ста­ви­ли 329 675 руб­лей.

От­ре­зок BL  — диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, где Про­дол­же­ние вы­со­ты ВТ тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ML, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

не имеет ре­ше­ний.

На­ту­раль­ное число будем на­зы­вать хо­ро­шим, если его по­след­няя цифра боль­ше 1 и оно де­лит­ся на свою по­след­нюю цифру. Част­ное от де­ле­ния хо­ро­ше­го числа n на по­след­нюю цифру обо­зна­чим n*.

а)  Может ли быть n*  =  18?

б)  Пусть m  — на­ту­раль­ное число. При каких зна­че­ни­ях по­след­ней цифры числа m су­ще­ству­ет такое хо­ро­шее число n, что n*  =  m?

в)  На­ту­раль­ное число будем на­зы­вать от­лич­ным, если все его на­ту­раль­ные де­ли­те­ли, кроме 1, хо­ро­шие числа. Най­ди­те все от­лич­ные числа.