а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB₁ па­рал­лель­на пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны от­рез­ков AC и BC₁.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если и

У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью 10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/га, а на вто­ром  — 200 ц/га. Уро­жай­ность свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 200 ц/га, а на вто­ром  — 300 ц/га.

Фер­мер может про­да­вать кар­то­фель по цене 10 000 руб. за цент­нер, а свёклу  — по цене 13 000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го на­ту­раль­но­го числа n, что числа n² и (n + 16)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 200.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трёхзнач­ных чисел n с ука­зан­ным в пунк­те а свой­ством?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет двух­знач­ных чисел m, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет ровно 36 трёхзнач­ных чисел n, таких, что n² и (n + m)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 200.