Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 625656

Настя задумала трехзначное натуральное число n. В результате деления этого числа на сумму его цифр получается натуральное число m.

а) Может ли m = 11?

б) Какое наименьшее число n могла задумать Настя, если известно, что средняя цифра этого числа равна 9, а первая цифра — четная и больше 2?

в) Чему равно наименьшее возможное значение m, если последняя цифра числа n равна 4?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим цифры этого числа за a, b, c, тогда n=100a плюс 10b плюс c и m=a плюс b плюс c.

а) По условию,

100a плюс 10b плюс c=11(a плюс b плюс c) равносильно 89a=b плюс 10c.

Можно взять a = 1, b = 9, c = 8. Число 198=11 умножить на (1 плюс 9 плюс 8) подходит.

б) Задуманное число должно быть четным: если оно нечетно, то и его последняя цифра нечетна, поэтому в сумме с первой (четной) и второй (нечетной) даст четное число, но нечетное число не может делиться на четное. Теперь переберем четные числа по возрастанию:

490 не кратно 13,

492 не кратно 15,

494 не кратно 17,

496 не кратно 19,

498 не кратно 21,

690=15 умножить на 46 — подходит.

в) Выделим целую часть:

m = дробь: числитель: 100a плюс 10b плюс 4, знаменатель: a плюс b плюс 4 конец дроби =10 плюс дробь: числитель: 90a минус 36, знаменатель: a плюс b плюс 4 конец дроби .

При каждом конкретном a числитель полученной дроби постоянен, поэтому надо только выбрать наибольшее b, для которого 90a минус 36 кратно a плюс 4 плюс b. Разберем два случая.

1 случай: a=1. Тогда 54 кратно 5 плюс b. Максимальное подходящее b равно 4, в этом случае m = 10 плюс дробь: числитель: 54, знаменатель: 9 конец дроби =16.

2 случай: a больше или равно 2. Тогда

 дробь: числитель: 90a минус 36, знаменатель: a плюс b плюс 4 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 90a минус 36, знаменатель: a плюс 13 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 90 умножить на 2 минус 36, знаменатель: 9 плюс 13 конец дроби = дробь: числитель: 144, знаменатель: 22 конец дроби больше 6,

поэтому m больше 16. Значит, оптимальный пример уже найден.

 

Ответ: а) да; б) 690; в) 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 379.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства