Натуральное число будем называть симметричным, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке.
а) Будет ли симметричное число с четным количеством цифр делиться на 11?
б) К трехзначному числу припишем справа это же число. Будет ли полученное шестизначное число точным квадратом?
в) Какие шестизначные симметричные числа делятся на 77? Сколько всего таких чисел?
а) По признаку делимости на 11 сравним суммы цифр на нечетных и на четных местах. Очевидно, вторая сумма состоит из тех же слагаемых, написанных в обратном порядке.
б) Приписывание того же трехзначного числа умножает его на 1001. Но число 
не может быть квадратом, поскольку трехзначное a не может делиться на 7, 11, 13 одновременно. Без этого условия 1001a будет содержать в разложении на простые какие-то множители из набора 7, 11, 13 в первой степени — противоречие.
в) Обозначим цифры этого числа буквами x, y, z. Тогда:
Первое и второе слагаемое гарантировано делятся на 77, поэтому третье тоже должно делиться, и этого достаточно. Тогда необходимо и достаточно, чтобы z − x делилось на 7. Значит, можно на роль этих цифр взять (8, 1), (1, 8), (9, 2), (2, 9) или (7, 0), а также любую из девяти пар цифр, в которых цифры одинаковы (x нельзя брать нулем как первую цифру числа). Это дает 14 вариантов выбора цифр x и z, и в каждом из них есть 10 вариантов выбора цифры y. Окончательно получаем 
вариантов.
Ответ: а) да; б) нет; в) разность первой и третьей цифр делится на 7; 140 чисел.
Здравствуйте, если я ничего не упустил, то в пункте в) ошибка - ответ 130, а не 140. В решении сказано, что достаточно, чтобы z-x делилось на 7, и это возможно при (z; x) = (7; 0). Но если x = 0, то число перестаёт быть 6-значным (на первой позиции стоит ноль).
Тогда получается, что пар z и x не 14, а 13. Умножаем на 10, так как y - любое от 0 до 9, и ответ - 130.
Под парой (7; 0) имеется в виду, что x=7 и z=0: они по алфавиту этом порядке идут. Пару (0;7) брать нельзя, она и не выписана.