а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и N и пе­ре­се­ка­ет ребра AS и CS в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния пря­мых MP и KN лежит на вы­со­те пи­ра­ми­ды SABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α, если из­вест­но, что АВ  =  24, AS  =  28, SK  =  7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В кон­тей­нер упа­ко­ва­ны ком­плек­ту­ю­щие из­де­лия трех типов. Сто­и­мость и вес од­но­го из­де­лия со­став­ля­ют 400 тысяч руб­лей и 12 кг для пер­во­го типа, 500 тысяч руб­лей и 16 кг для вто­ро­го типа, 600 тысяч руб­лей и 15 кг для тре­тье­го типа. Общий вес ком­плек­ту­ю­щих равен 326 кг. Опре­де­лить ми­ни­маль­ную и мак­си­маль­ную воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость на­хо­дя­щих­ся в кон­тей­не­ре ком­плек­ту­ю­щих из­де­лий.

Окруж­ность ω₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC и про­дол­же­ний сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC за точки A и C со­от­вет­ствен­но, M  — точка ее ка­са­ния с пря­мой BC. Окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB и про­дол­же­ний сто­рон AC и BC за точки A и B со­от­вет­ствен­но, N  — точка ее ка­са­ния с пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что СМ  =  BN.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ω₁ и ω₂, если BC  =  5.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Из трех раз­ных цифр a, b, c, от­лич­ных от 0, все­воз­мож­ны­ми пе­ре­ста­нов­ка­ми со­став­ле­ны 6 трех­знач­ных чисел. Пусть их наи­боль­ший общий де­ли­тель равен d.

а)  Может ли быть d  =  6?

б)  Может ли быть d  =  7?

в)  Какое мак­си­маль­ное зна­че­ние может иметь d? Най­ди­те зна­че­ния a, b, c, при ко­то­рых d до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния.