Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630103

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли N быть равным 280?

б) Может ли N быть равным 149?

в) Найдите наибольшее значение N.

Спрятать решение

Решение.

а) Для того, чтобы сумма трёх идущих подряд чисел была нечётна, рядом с каждым чётным числом должны стоять числа разной чётности, а рядом с каждым нечётным — числа одинаковой чётности. Предположим, что среди чисел есть чётное число, тогда для того, чтобы сумма трёх чисел была нечётна, рядом с ним должно стоять одно чётное и одно нечётное число: ... Ч, Ч, Н... но рядом с нечётным, должны быть числа одинаковой чётности, поэтому получаем: ...Ч, Ч, Н, Ч... Но тогда сумма указанных четырёх чисел нечетна и не может делиться на 4. Значит, среди расставленных чисел чётных чисел нет. Количество нечётных чисел, не превосходящих 425 равно 213. Значит, N меньше или равно 213 и не может равняться 280.

б) Нечётные числа при делении на 4 могут давать остатки 1 и 3. Для того чтобы сумма любых четырёх идущих подряд чисел делилась на 4, нужно либо использовать только числа, которые дают одинаковые остатки, но их не больше 107, тогда N меньше или равно 107, что не подходит, либо числа, дающие разные остатки, должны чередоваться (...1, 3, 1, 3... или ... 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...) так, чтобы в каждых четырех идущих подряд числах было по два числа, дающих разные остатки, но тогда их поровну, и число N — четное. Значит, N не может равняться 149.

в) Из рассуждений в пунктах а) и б) получаем, что N меньше 213. Приведём пример для N=212:

 левая круглая скобка ... 423 правая круглая скобка , \underbrace 1, 3, 5, 7, 9, ..., 417, 419, 421, 423,_212 чисел левая круглая скобка 1 ... правая круглая скобка .

Значит, наибольшее значение N=212.

 

Ответ: а) нет, не может; б) нет, не может; в) 212.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б и в3
Получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, пункт в не решен2
Получен верный обоснованный ответ в пункте а, либо получен верный обоснованный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток, Задания 18 ЕГЭ–2022
Классификатор алгебры: Числа и их свойства