Пусть Дима за­ду­мал цифру х, а Ни­ки­та  — цифру у. Не теряя общ­но­сти, можно по­ло­жить Тогда Маша вы­чис­ля­ла про­из­ве­де­ние Кроме того, мно­жи­те­ли не равны нулю, и, зна­чит,

а)  Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах, по­сколь­ку его пра­вая часть не­чет­на, а левая часть четна для любых зна­че­ний x и y.

б)  Урав­не­ние также не имеет ре­ше­ний. Для до­ка­за­тель­ства за­пи­шем его в виде Число 503 про­стое, сле­до­ва­тель­но, один из мно­жи­те­лей левой части кра­тен 503. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку по усло­вию числа x и y не боль­ше 9.

в)  Урав­не­ние за­пи­шем в виде

За­ме­тим, что если из чисел x, y, и хотя бы два де­лят­ся на 3, то и все они также де­лят­ся на 3. Но тогда левая часть де­лит­ся на 81, а пра­вая  ― нет. Зна­чит, ровно один со­мно­жи­тель в левой части де­лит­ся на 3, а сле­до­ва­тель­но, он де­лит­ся и на 9. Кроме того, по­сколь­ку 7  ― про­стое число, один из со­мно­жи­те­лей левой части де­лит­ся на 7.

По­сколь­ку мно­жи­те­ли y и не могут де­лить­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, на 9 де­лит­ся либо либо х. Рас­смот­рим эти ва­ри­ан­ты.

Если де­лит­ся на 9, то так как В этом слу­чае для де­ли­мо­сти на 7 либо (тогда   ― не под­хо­дит), либо (   ― не под­хо­дит).

Если же то для де­ли­мо­сти на 7 либо (под­хо­дит), либо (от­ку­да   ― не под­хо­дит), либо (от­ку­да   ― не под­хо­дит).

Тем самым, толь­ко пара яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да, 9 и 7.