СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 517429

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

а) 1989?

б) 2012?

в) 2016?

Если нет — объясните, почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.

Решение.

Пусть Дима задумал цифру х, а Никита — цифру у. Не теряя общности, можно положить Тогда Маша вычисляла произведение Кроме того, множители не равны нулю, и, значит,

а) Уравнение не имеет решений в натуральных числах, поскольку его правая часть нечетна, а левая часть четна для любых значений x и y.

б) Уравнение также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде Число 503 простое, следовательно, один из множителей левой части кратен 503. Но это невозможно, поскольку по условию числа x и y не больше 9.

в) Уравнение запишем в виде

Заметим, что если из чисел x, y, и хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая ― нет. Значит, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а, следовательно, он делится и на 9. Кроме того, так как 7 ― простое число, один из сомножителей левой части делится на 7.

Поскольку , множители y и не могут делиться на 9. Следовательно, на 9 делится либо , либо х. Рассмотрим эти варианты.

Если делится на 9, то , так как В этом случае для делимости на 7 либо (тогда , ― не подходит), либо ( ― не подходит).

Если же , то для делимости на 7 либо (подходит), либо (откуда ― не подходит), либо (откуда ― не подходит).

Тем самым, только пара является решением.

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) да, 9 и 7.

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства
Спрятать решение · ·
Георгий Хлестов 17.03.2019 19:53

В решении пункта Б, говориться что по условию числа не x, y не больше 9,хотя в задании об этом не сказанно. Дополните, пожалуйста, условие.

Александр Иванов

По условию и - это ЦИФРЫ.