а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SЕ и вер­ши­ну С, делит ребро SВ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны В.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SА и SЕ и вер­ши­ну С, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На ав­то­мо­би­ле стоят два оди­на­ко­вых но­мер­ных знака, ко­то­рые можно ме­нять ме­ста­ми  — один спе­ре­ди, дру­гой сзади. Знак, сто­я­щий спе­ре­ди, за 6 лет экс­плу­а­та­ции при­хо­дит в не­год­ность и под­ле­жит за­ме­не. Знак, сто­я­щий сзади, при­хо­дит в не­год­ность за 12 лет. Износ можно счи­тать про­пор­ци­о­наль­ным вре­ме­ни. Какой мак­си­маль­ный срок (в годах) может про­слу­жить один ком­плект из двух но­мер­ных зна­ков, если свое­вре­мен­но по­ме­нять пе­ред­ний и зад­ний но­мер­ной знак ме­ста­ми?

В тра­пе­ции АВСD ос­но­ва­ния ВС и АD равны 3 и 9 со­от­вет­ствен­но. Из точки К, ле­жа­щей на сто­ро­не СD, опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр КL, на сто­ро­ну АВ. Из­вест­но, что L  — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ, СL  =  4 и что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка АLKD в 3 раза боль­ше пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ВСКL.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВK и DL па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка DL.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет не более двух ре­ше­ний.

Каж­дую цифру a на­ту­раль­но­го числа n за­ме­ним по­след­ней циф­рой числа a³. По­лу­чен­ное в ре­зуль­та­те такой за­ме­ны число будем обо­зна­чать n* и на­зы­вать вза­им­ным с чис­лом n. Число, сов­па­да­ю­щее со своим вза­им­ным, будем на­зы­вать осо­бен­ным.

а)  Могут ли два раз­ных на­ту­раль­ных числа иметь оди­на­ко­вые вза­им­ные числа?

б)  Для каких на­ту­раль­ных чисел n будет осо­бен­ным число Сколь­ко всего су­ще­ству­ет трех­знач­ных осо­бен­ных чисел?

в)  Ре­ши­те урав­не­ние