а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На ребре AC от­ме­че­на точка M, а на про­дол­же­нии ребра BC за точку C  — точка N так, что CM  =  CN  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2024 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 17 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 16-й (с ян­ва­ря 2025 года по ап­рель 2026 года вклю­чи­тель­но) долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — 15 ап­ре­ля 2026 года долг со­ста­вит 400 тысяч руб­лей;

  — 15 мая 2026 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1608 тысяч руб­лей?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на вы­со­та СН из вер­ши­ны пря­мо­го угла, АМ и СN  — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков ACH и ВСН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АМ и СN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка МN, если ВС  =  20 и

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

а)  При­ве­ди­те при­мер се­ми­знач­но­го числа из ко­то­ро­го, вычёрки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 123, 426, 786.

б)  Су­ще­ству­ет ли де­вя­ти­знач­ное число из ко­то­ро­го, вычёрки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, из ко­то­ро­го можно по­лу­чить все числа от 1 до 40 вклю­чи­тель­но, вычёрки­вая из него цифры.