а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На от­рез­ке O₁O₂, со­еди­ня­ю­щем цен­тры ос­но­ва­ний кру­го­во­го ци­лин­дра, от­ме­че­ны точки Р и F так, что В ци­лин­дре рас­по­ло­же­ны два ко­ну­са: пер­вый с вер­ши­ной  F, ос­но­ва­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся круг ос­но­ва­ния с цен­тром O₁, вто­рой  — с вер­ши­ной P, ос­но­ва­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся круг ос­но­ва­ния с цен­тром O₂.

а)  До­ка­жи­те, что бо­ко­вые по­верх­но­сти этих ко­ну­сов пе­ре­се­ка­ют­ся по окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой в 4 раза мень­ше ра­ди­у­са ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

б)  Най­ди­те объем общей части этих ко­ну­сов, если вы­со­та ци­лин­дра равна 10, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

У ин­ве­сто­ра есть 50 млн руб. Часть денег он пла­ни­ру­ет вло­жить в про­ект. Если он вло­жит в про­ект млн руб., то по за­вер­ше­нии про­ек­та он по­лу­чит x млн руб. Нев­ло­жен­ные в про­ект день­ги ин­ве­стор пла­ни­ру­ет раз­ме­стить на бан­ков­ском счете. По за­вер­ше­нии про­ек­та ин­ве­стор по­лу­чит из банка сумму, уве­ли­чен­ную на 20%. Ин­ве­стор со­би­ра­ет­ся рас­пре­де­лить день­ги так, чтобы общая сумма по­лу­чен­ных им денег от вло­же­ния в про­ект и раз­ме­ще­ния в банке ока­за­лась наи­боль­шей. При­быль от про­ек­та  — это раз­ность между по­лу­чен­ной от про­ек­та и вло­жен­ной в про­ект сум­ма­ми денег. Най­ди­те сколь­ко про­цен­тов со­ста­вит при­быль от про­ек­та от вло­жен­ной в него суммы денег.

В окруж­но­сти с цен­тром О по­стро­ен пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник KOFPDL так, что его вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти. Из точки B, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ной точке D, про­ве­де­ны две хорды AB и BC, про­хо­дя­щие через вер­ши­ны K и F ше­сти­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 14.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 2021-знач­ное число. Каж­дое дву­знач­ное число, об­ра­зо­ван­ное со­сед­ни­ми циф­ра­ми этого числа, иду­щи­ми в той же по­сле­до­ва­тель­но­сти, де­лит­ся на 17 или 28.

а)  Может ли по­след­няя цифра рав­нять­ся 3?

б)  Может ли число быть со­став­ле­но толь­ко из не­чет­ных цифр?

в)  Чему может быть равна пер­вая цифра, если по­след­няя цифра равна 7? Ука­жи­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.