На бен­зо­ко­лон­ке один литр бен­зи­на стоит 35 руб. 60 коп. Во­ди­тель залил в бак 15 лит­ров бен­зи­на и купил бу­тыл­ку воды за 23 рубля. Сколь­ко руб­лей сдачи он по­лу­чит с 1000 руб­лей?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней из дан­но­го пе­ри­о­да вы­па­да­ло от 3 до 7 мил­ли­мет­ров осад­ков.

На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 2. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 7 задач, равна 0,78. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 6 задач, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 7 задач.

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, делит в точке ка­са­ния одну из бо­ко­вых сто­рон на два от­рез­ка, длины ко­то­рых равны 9 и 4, счи­тая от вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−18; 6). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−13; 1].

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен  а вы­со­та равна 6.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те h м над землёй, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до ви­ди­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где R = 6400 км  — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 3,2 км. К пляжу ведёт лест­ни­ца, каж­дая сту­пень­ка ко­то­рой имеет вы­со­ту 15 см. На какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­пе­нек нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы он уви­дел го­ри­зонт на рас­сто­я­нии не менее 6,4 ки­ло­мет­ров?

Два че­ло­ве­ка от­прав­ля­ют­ся из од­но­го дома на про­гул­ку до опуш­ки леса, на­хо­дя­щей­ся в 1,5 км от дома. Один идёт со ско­ро­стью 2,2 км/ч, а дру­гой  — со ско­ро­стью 4,4 км/ч. Дойдя до опуш­ки, вто­рой с той же ско­ро­стью воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. На каком рас­сто­я­нии от точки от­прав­ле­ния про­изойдёт их встре­ча? Ответ дайте в ки­ло­мет­рах.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка F се­ре­ди­на ребра AB, а точка E делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DE : ED₁  =  6 : 1. Через точки F и E про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль B₁D в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль DB₁ в от­но­ше­нии DO : OB₁  =  2 : 3.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (ABC), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ABCDA₁B₁C₁D₁  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а вы­со­та равна 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но и ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD.

а)  До­ка­жи­те, что точки C, D, M и N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Ге­ор­гий взял кре­дит в банке на сумму 804 000 руб­лей. Схема вы­пла­та кре­ди­та та­ко­ва: в конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет на 10 про­цен­тов остав­шу­ю­ся сумму долга, а затем Ге­ор­гий пе­ре­во­дит в банк свой оче­ред­ной пла­теж. Из­вест­но, что Ге­ор­гий по­га­сил кре­дит за три года, при­чем каж­дый его сле­ду­ю­щий пла­теж был ровно вдвое мень­ше преды­ду­ще­го. Какую сумму Ге­ор­гий за­пла­тил в тре­тий раз? Ответ дайте в руб­лях.

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния на от­рез­ке

Дано квад­рат­ное урав­не­ние где a, b, c  — на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 200. Также из­вест­но, что числа a, b и c по­пар­но от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 9?

б)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 135?

в)  Какой наи­боль­ший целый ко­рень может иметь такое урав­не­ние?