Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 504855

Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.

а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?

б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например, Коля умножил 6 на 7, получив 42, а Вова умножил 6 на 8, получив 48. Модуль разности полученных произведений равен 6.

б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Колино произведение будет четным. Вовино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным, таким образом, он не может быть равен 13.

в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Коля перемножал числа x и x плюс 1, а Вова ― числа y и y плюс 2. Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

x(x плюс 1)=y(y плюс 2) равносильно x в степени 2 плюс x=y в степени 2 плюс 2y равносильно x в степени 2 плюс x плюс 1=(y плюс 1) в степени 2 .

Заметим, что x меньше y плюс 1, так как x в степени 2 меньше (y плюс 1) в степени 2 С другой стороны, y плюс 1 меньше x плюс 1, так как (y плюс 1) в степени 2 =x в степени 2 плюс x плюс 1 меньше (x плюс 1) в степени 2 .

Итак, x меньше y плюс 1 меньше x плюс 1, но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться 0. Тогда он не меньше 2, так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Коля умножил четное число n на n плюс 1, а Вова умножил n на n плюс 2. Тогда модуль разности их произведений равен:

n(n плюс 2) минус n(n плюс 1)=n.

ввиду того, что n ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл).4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).2
Верно получен один из перечисленных результатов:

― приведен верный пример в пункте а);

― обоснованное решение пункта б);

― доказательство невозможности равенства полученных произведений в);

― доказательство того, что любое четное натуральное число является

ответом на вопрос пункта в).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 504855: 504834 Все

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 29.05.2014 11:41

В пункте в :Из условия не следует,что Коля и Вова умножали одно и то же число. Думаю,что рассмотрен только частный случай.

Константин Лавров

Не очень ясно частный случай чего? Нам достаточно показать, что любое четное натуральное число может быть получено. Это показано.