СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 524692

Все целые числа от 1 до 13 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а) Может ли на последнем месте стоять число 5?

б) Какие числа могут быть на последнем месте?

в) Сколько четных чисел может стоять на третьем месте?

Решение.

Сумма чисел от 1 до 13 равна 91.

а) Если число 5 стоит на последнем месте, то сумма предыдущих чисел равна 86. Но 86 не делится на 5. Противоречие.

б) Пусть на последнем месте стоит число х. Тогда сумма всех предыдущих чисел равна 91 − х, и, по условию, она делится на х. Следовательно, откуда

 

где k — натуральное число. Полученная дробь сократима, только если знаменатель равен 1, 7, 13 или 91, тогда дробь равна 91, 13, 7 или 1 соответственно. Поскольку x не больше 13, заключаем, что на последнем месте могут стоять только числа 13, 7 или 1. Осталось проверить, что оставшиеся числа можно расставить в соответствии с требованиями условия.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 1: 12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 7: 9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7.

Пример расстановки, оканчивающейся числом 13: 11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13.

в) На третьем месте может быть шесть четных чисел. Приведем примеры соответствующих расстановок:

Ответ: а) нет, б) 1, 7 или 13, в) шесть.


Аналоги к заданию № 524692: 524658 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства