СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 524692

Все целые числа от 1 до 13 вы­пи­са­ли в ряд так, что каж­дое число, на­чи­ная со вто­ро­го, яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем суммы всех преды­ду­щих чисел.

а) Может ли на по­след­нем месте сто­ять число 5?

б) Какие числа могут быть на по­след­нем месте?

в) Сколь­ко чет­ных чисел может сто­ять на тре­тьем месте?

Ре­ше­ние.

Сумма чисел от 1 до 13 равна 91.

а) Если число 5 стоит на по­след­нем месте, то сумма преды­ду­щих чисел равна 86. Но 86 не де­лит­ся на 5. Про­ти­во­ре­чие.

б) Пусть на по­след­нем месте стоит число х. Тогда сумма всех преды­ду­щих чисел равна 91 − х, и, по усло­вию, она де­лит­ся на х. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

 

где k — на­ту­раль­ное число. По­лу­чен­ная дробь со­кра­ти­ма, толь­ко если зна­ме­на­тель равен 1, 7, 13 или 91, тогда дробь равна 91, 13, 7 или 1 со­от­вет­ствен­но. По­сколь­ку x не боль­ше 13, за­клю­ча­ем, что на по­след­нем месте могут сто­ять толь­ко числа 13, 7 или 1. Оста­лось про­ве­рить, что остав­ши­е­ся числа можно рас­ста­вить в со­от­вет­ствии с тре­бо­ва­ни­я­ми усло­вия.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 1: 12, 6, 9, 3, 10, 8, 4, 13, 5, 7, 11, 2, 1.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 7: 9, 3, 4, 8, 2, 13, 1, 10, 5, 11, 6, 12, 7.

При­мер рас­ста­нов­ки, окан­чи­ва­ю­щей­ся чис­лом 13: 11, 1, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5, 10, 12, 6, 13.

в) На тре­тьем месте может быть шесть чет­ных чисел. При­ве­дем при­ме­ры со­от­вет­ству­ю­щих рас­ста­но­вок:

Ответ: а) нет, б) 1, 7 или 13, в) шесть.


Аналоги к заданию № 524692: 524658 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства