а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD, AB  =  AA₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁C и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем приз­мы, если A₁C  =  BD  =  2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром длина сто­ро­ны AC мень­ше длины сто­ро­ны BC, впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Точка B₁ сим­мет­рич­на точке B от­но­си­тель­но CO.

а)  До­ка­жи­те, что A, B, O и B₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AOBB₁, если AB  =  10, AC  =  6 и BC  =  8.

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят 10t тыс. руб­лей в конце года t (t = 1; 2; 3;...). В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счет в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счете будет уве­ли­чи­вать­ся в 1 + r раз. Пен­си­он­ный фонд хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать пя­то­го года сумма на его счете была наи­боль­шей. Рас­че­ты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце один­на­дца­то­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях r это воз­мож­но?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [4; 8].

В каж­дой клет­ке квад­рат­ной таб­ли­цы 6 × 6 стоит на­ту­раль­ное число, мень­шее 7. Вася в каж­дом столб­це на­хо­дит наи­мень­шее число и скла­ды­ва­ет шесть най­ден­ных чисел. Петя в каж­дой стро­ке на­хо­дит наи­мень­шее число и скла­ды­ва­ет шесть най­ден­ных чисел.

а)  Может ли сумма у Пети по­лу­чить­ся в два раза боль­ше, чем сумма у Васи?

б)  Может ли сумма у Пети по­лу­чить­ся в шесть раз боль­ше, чем сумма у Васи?

в)  В какое наи­боль­шее число раз сумма у Пети может быть боль­ше, чем сумма у Васи?