В одном из за­да­ний на кон­кур­се бух­гал­те­ров тре­бу­ет­ся вы­дать пре­мии со­труд­ни­кам не­ко­то­ро­го от­де­ла на общую сумму 800 000 руб­лей (раз­мер пре­мии каж­до­го со­труд­ни­ка  — целое число, крат­ное 1000). Бух­гал­те­ру дают рас­пре­де­ле­ние пре­мий, и он дол­жен их вы­дать без сдачи и раз­ме­на, имея 250 купюр по 1000 руб­лей и 110 купюр по 5000 руб­лей.

а)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если в от­де­ле 40 со­труд­ни­ков и все долж­ны по­лу­чить по­ров­ну?

б)  Удаст­ся ли вы­пол­нить за­да­ние, если ве­ду­ще­му спе­ци­а­ли­сту надо вы­дать 80 000 руб­лей, а осталь­ное по­де­лить по­ров­ну на 80 со­труд­ни­ков?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве со­труд­ни­ков в от­де­ле за­да­ние удаст­ся вы­пол­нить при любом рас­пре­де­ле­нии раз­ме­ров пре­мий?

В не­сколь­ких оди­на­ко­вых боч­ках на­ли­то не­ко­то­рое ко­ли­че­ство лит­ров воды (не­обя­за­тель­но оди­на­ко­вое). За один раз можно пе­ре­лить любое ко­ли­че­ство воды из одной бочки в дру­гую.

а)  Пусть есть че­ты­ре бочки, в ко­то­рых 29, 32, 40, 91 лит­ров. Можно ли не более чем за че­ты­ре пе­ре­ли­ва­ния урав­нять ко­ли­че­ство воды в боч­ках?

б)  Пусть есть семь бочек. Все­гда ли можно урав­нять ко­ли­че­ство воды во всех боч­ках не более чем за пять пе­ре­ли­ва­ний?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пе­ре­ли­ва­ний можно за­ве­до­мо урав­нять ко­ли­че­ство воды в 26 боч­ках?

Три числа на­зо­вем хо­ро­шей трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Три числа на­зо­вем от­лич­ной трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Даны 8 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Может ли ока­зать­ся. что среди них не най­дет­ся ни одной хо­ро­шей трой­ки?

б)  Даны 4 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Может ли ока­зать­ся, что среди них можно найти три от­лич­ных трой­ки?

в)  Даны 12 раз­лич­ных чисел (не­обя­за­тель­но на­ту­раль­ных). Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство от­лич­ных троек могло ока­зать­ся среди них?

Уче­ни­ки одной школы пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го участ­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 83 бал­лов. Из-за того, что за­да­ния ока­за­лись слиш­ком труд­ны­ми, было при­ня­то ре­ше­ние всем участ­ни­кам теста до­ба­вить по 5 бал­лов, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зил­ся?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зил­ся, и сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зил­ся?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 90, сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 100, а сред­ний балл уче­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 75. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл уче­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, а не сдав­ших  — 79. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 2970. В каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 16 за­ме­ни­ли на число 61).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 3 раза мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 5 раз мень­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.