В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB  =  10, CD  =  16. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, B₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

В груп­пе ту­ри­стов 20 че­ло­век. Их вер­толётом в не­сколь­ко приёмов за­бра­сы­ва­ют в труд­но­до­ступ­ный район по 5 че­ло­век за рейс. По­ря­док, в ко­то­ром вер­толёт пе­ре­во­зит ту­ри­стов, слу­ча­ен. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ту­рист Ф. по­ле­тит вто­рым рей­сом вер­толёта.

Би­ат­ло­нист 5 раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,5. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые 3 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции на от­рез­ке

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на  — Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му где P  — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в ват­тах),   — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T  — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти не­ко­то­рой звез­ды равна а мощ­ность её из­лу­че­ния равна Вт. Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в кель­ви­нах.

Пер­вый насос на­пол­ня­ет бак за 20 минут, вто­рой  — за 30 минут, а тре­тий  — за 1 час. За сколь­ко минут на­пол­нят бак три на­со­са, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те f(10).

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K делит ребро BC в от­но­ше­нии BK : KC  =  2 : 1, AB  =  6 и

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость OMK па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMK пе­ре­се­ка­ет грань SAD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 3 года в раз­ме­ре 800 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре 2027 и 2028 годов долг будет воз­рас­тать на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  в ян­ва­ре 2029 года долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

Пла­те­жи в 2027, 2028 и 2029 годах долж­ны быть рав­ны­ми; к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те сумму всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 24. Точки E и F  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок EF ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния.

Есть 16 мо­не­ток по 2 рубля и 29 мо­не­ток по 5 руб­лей.

а)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 175?

б)  Можно ли взять не­сколь­ко из них так, чтобы сумма взя­тых монет была равна 176?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство мо­не­ток по 1 рублю нужно до­ба­вить в набор, чтобы можно было по­лу­чить любую целую сумму от 1 до 180 вклю­чи­тель­но.