Даны три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа такие, что вто­рое число равно сумме цифр пер­во­го, а тре­тье  — сумме цифр вто­ро­го.

а)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 420?

б)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 419?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет троек чисел, таких что: пер­вое число  — трех­знач­ное, а по­след­нее равно 5?

Даны три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа такие, что вто­рое число равно сумме цифр пер­во­го, а тре­тье  — сумме цифр вто­ро­го.

а)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 2022?

б)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 2021?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет троек чисел, таких что пер­вое число трех­знач­ное, а по­след­нее равно 2?

Дано трёхзнач­ное число А, сумма цифр ко­то­ро­го равна S.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  28 000?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  2971?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее про­из­ве­де­ние A · S < 5997.

Дано трёхзнач­ное число А, сумма цифр ко­то­ро­го равна S.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  1105?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  1106?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние A · S, если оно боль­ше 1503?

Дано трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 13?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 6?

в)  Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр, если пер­вая цифра дан­но­го числа равна 6?

Дано трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 11?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 5?

в)  Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр, если пер­вая цифра дан­но­го числа равна 7?

Дано трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 55?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 87?

в)  Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр, если пер­вая цифра дан­но­го числа равна 7?

Пер­вый член ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел равен 128. Из­вест­но, что в про­грес­сии не мень­ше трех чисел.

а)  Может ли число 686 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

б)  Может ли число 496 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

в)  Какое наи­боль­шее число может яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

Пер­вый член ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, равен 272. Из­вест­но, что в про­грес­сии не мень­ше трех чисел.

а)  Может ли число 425 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

б)  Может ли число 680 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

в)  Какое наи­боль­шее число может яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

В по­сле­до­ва­тель­но­сти из 80 целых чисел каж­дое число (кроме пер­во­го и по­след­не­го) боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них чисел. Пер­вый и по­след­ний члены по­сле­до­ва­тель­но­сти равны 0.

а)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть от­ри­ца­тель­ным?

б)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть рав­ным 20?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вто­ро­го члена такой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

а)  Можно ли пред­ста­вить число в виде суммы двух дро­бей, чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­цы, а зна­ме­на­те­ли  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

б)  Тот же во­прос для числа

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сла­га­е­мых ука­зан­но­го вида (дро­бей с чис­ли­те­ля­ми 1 и зна­ме­на­те­ля­ми  — по­пар­но раз­лич­ны­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми) по­тре­бу­ет­ся, чтобы пред­ста­вить число