а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме АВСDА₁В₁С₁D₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно На реб­рах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки К и L со­от­вет­ствен­но, причём ВК  =  4, C₁L  =  5. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до плос­ко­сти γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке АВС угол АВС равен 60°. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BM не боль­ше утро­ен­но­го ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те если из­вест­но, что от­ре­зок ВМ в 2,5 раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти.

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет боль­ше 5 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

На доске на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 35 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стёртых на преды­ду­щих ходах.

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­ных 5 ходов.

б)  Можно ли сде­лать 10 ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?