Каждую цифру a в записи натурального числа n заменим последней цифрой числа 7a. Обозначим полученное число через n*. Например, 
а) Сколько решений имеет уравнение 
б) Существует ли решение уравнения 
в) Сколько существует трехзначных чисел b, для которых уравнение 
не имеет решения?
Выпишем для каждой цифры n соответствующую цифру n*:
Суммы чисел в каждой паре равны соответственно 0, 8, 6, 4, 12, 10, 8, 16, 14 и 12.
Отметим также, что при трехзначном b сумма n и n* лежит в промежутке от 200 до 1998, поэтому n обязано быть трехзначным: для двузначных и однозначных n, 
для четырехзначных и еще больших чисел n, 
а) Ясно, что сумма последних цифр n и n* равна 12. Заменим последние цифры этих чисел на 0, от этого сумма уменьшится на 12 и станет равна 1280. Если же убрать нули, то сумма оставшихся двузначных чисел равна 128. Рассуждая аналогично, получаем, что сумма средних цифр изначальных чисел (или последних цифр новых, что то же самое) равна 8, а сумма первых 12. Выбор цифр для каждого из этих вариантов можно сделать двумя способами: 4 + 8 и 9 + 3 для 12, 1 + 7 и 6 + 2 для 8, что 
вариантов
б) Аналогично пункту а) получаем, что сумма оставшихся после вычеркивания последних цифр двузначных чисел равна 93, что невозможно, поскольку ни сумму 3, ни сумму 13 организовать нельзя.
в) Аналогично пункту а) получаем, что n + n* всегда может быть записано в виде 
где
Значит, половина этого числа всегда может быть записана в виде 
где
где 
Итак, вопрос сводится к такому — сколько трехзначных чисел можно составить из указанных цифр. На первое место можно взять любую из семи цифр (кроме нуля), а на остальные — любую из восьми, что дает 
вариантов. имеет решения, значит, для 452 чисел решений не будет.
Ответ: а) 8; б) нет; в) 452.