а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Вне плос­ко­сти пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC рас­по­ло­же­на точка D, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми, если AB  =  2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 600 000 руб­лей на 26 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1 % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  cо 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа с 1 по 25 месяц долг дол­жен умень­шать­ся на одну и ту же сумму;

—  15-⁠го числа 26 ме­ся­ца долг дол­жен быть по­га­шен.

Сколь­ко тысяч руб­лей со­став­ля­ет долг на 15 число 25 ме­ся­ца, если всего было вы­пла­че­но 691 тысяч руб­лей?

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность. Она ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB в точке P. Точка M  — се­ре­ди­на AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если и Ра­ди­ус окруж­но­сти в 2 раза боль­ше MP.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет три раз­лич­ных корня.

Каж­дое из четырёх под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел раз­де­ли­ли на их пер­вые цифры и ре­зуль­та­ты сло­жи­ли в сумму S.

а)  Может ли быть ?

б)  Может ли быть ?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее целое S, если все че­ты­ре числа лежат в от­рез­ке от 400 до 999 вклю­чи­тель­но.