ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 669752 Добавить в вариант

Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_2025$   — некоторые действительные числа, причем $|a_i плюс 1 минус a_i| меньше или равно 1$ для $i = 1, 2, 3, \ldots, 2024.$ Рассмотрим выражение $S = a_1a_2 плюс a_2a_3 плюс a_3a_4 плюс \ldots плюс a_2024a_2025.$

а)  Может ли $S = 2?$

б)  Может ли $S = минус 1?$

в)  Какое наименьшее возможное значение S?

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть $a_1 = a_2 = a_3 = 1,$ $a_4 = a_5 = \ldots = a_2025 = 0.$ Все условия выполняются, при этом

$S=1 умножить на 1 плюс 1 умножить на 1 плюс 1 умножить на 0 плюс 0 умножить на 0 плюс \ldots=1 плюс 1 плюс 0 плюс 0 плюс \ldots = 2.$

б)  Пусть $a_1 = a_3 = a_5 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_2 = a_4 = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_n=0$ при $n больше или равно 6.$ Все условия выполняются, при этом

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 0 плюс 0 умножить на 0 плюс \ldots=$
$= левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 1.$

в)  Докажем, что каждое слагаемое в этой сумме не меньше $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ В самом деле, если a_i и $a_i плюс 1$ одного знака, то их произведение положительно. Если же они разных знаков, то мысленно увеличим положительное до значения на 1 большего, чем отрицательное (произведение от этого только уменьшится). Тем самым получим произведение $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка x$ при $x принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка .$ Квадратный трехчлен $x в квадрате плюс x$ на этом промежутке имеет наименьшее значение при $x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ это значение равно $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Значит, сумма всех произведений не меньше $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2024 = минус 506,$ а это значение достигается, если все числа a_i с нечетными индексами равны $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а все числа с четными индексами равны $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а)  да; б)  да; в)  −506.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 475

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь